[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] "A9" "A3" "C8" "A7" "A10"
[2,] "B3" "C7" "B2" "B7" "C1"
[3,] "B9" "A2" "B1" "A4" "A6"
[4,] "C9" "C10" "B8" "A5" "B6"
[5,] "A1" "B10" "C4" "A8" "C3"
[6,] "C2" "B4" "B5" "C6" "C5" 
Diseño Experimental. Parte 1.
Guía práctica de clase. Año 2022.
Facultad de Ciencias Agrarias | UNJu
Ing. Juan Manuel Solís
Cátedra de Bioestadística y Diseño Experimental. Año 2022.
Ing. Agr. Jorge Quiquinto, prof. asociado, dedicación exclusiva
Ing. Agr. Marta Leaño, prof. adjunta, dedicación exclusiva
Ing. Agr. Juan Manuel Solís, Jefe de Trabajos Prácticos, dedicación exclusiva
Ing. Agr. Ivone Humacata, Jefe de Trabajos Prácticos, dedicación exclusiva
Srta. Sofía Carrasco, Ayudante de 2da, dedicación simple
Srta. Victoria López, Ayudante de 2da, dedicación simple
DCA
Contenido
Aleatorización
ANAVA a una vía: Modelo matemático
Supuestos del modelo
Hipótesis | decisión y conclusión
Situación
En un estudio de fitorremediación se desea evaluar la capacidad bioacumuladora de As en tejidos de hoja de 3 especies hortícolas: Brassica oleracea (A), Lactuca sativa (B) y Raphanus sativa (C). Para ello se cultivan 10 individuos de cada especie en macetas con riego a c.c. con agua proveniente de la localidad de Susques, que se sabe presenta altas concentraciones de As. A continuación, se determina la [As] en ppm en tejidos foliares. ¿Existen diferencias entre especies en su capacidad bioacumuladora de As?
A priori
Es muy importante definir claramente la variable respuesta, los tratamientos (o niveles del factor analizado) y las unidades experimentales.
Definir el tamaño muestral adecuado
Aleatorización de las u.e.
Aleatorización
En este caso la aleatorización debe ser completa. Se debe asegurar que las u.e. tengan la misma probabilidad de ser asignadas a tratamiento. Son de gran utilidad las funciones de aleatorización que proveen los softwares actuales, aunque también es posible emplear tablas, bolilleros, urnas, etc.
Definiciones
Variable respuesta: concentración de As en ppm en hojas de lechuga, repollo y rabanito sometidas a riego con agua de Susques.
Tratamientos: cada una de las especies: Brassica oleracea (A), Lactuca sativa (B) y Raphanus sativa (C), analizadas.
U.E.: cada una de las plantas de lechuga, repollo y rabanito en macetas, sobre cuyas hojas se determinará la concentración de As.
Aleatorización
A continuación, se realiza una selección aleatoria de 10 plantas de cada especie y se asigna según la disposición obtenida.
Datos
Argumentos
La función read.table() incluye los argumentos clipboard para indicar que los datos serán leídos desde el portapapeles y header para indicarle que la primera fila incluye los nombres de los campos.
La función boxplot() se construye empleando el símbolo “~” (virgulilla), que se interpreta “en función de” o “como respuesta a”. Además se debe indicar el objeto que contiene las variables incluidas.
Modelo matemático
\[ \Large y_{ij} = \mu + \tau_i + \epsilon_{ij} \]
\(\forall \space i=1,2,3; \space j=1,2,...,10\)
\(\epsilon \sim N(0,\sigma^2)\)
Pregunta
El modelo matemático de un DCA, ¿es aplicable a estudios observacionales ?
Construcción del modelo
Argumentos
- La función lm() se construye empleando el símbolo “~” (virgulilla), que se interpreta “en función de” o “como respuesta a”. Además se debe indicar el objeto que contiene las variables incluidas.
Diagnóstico del modelo
Normalidad de residuos: qq-plot
Normalidad de residuos: prueba Shapiro-Wilk
Shapiro-Wilk normality test
data: resid(modelo)
W = 0.95964, p-value = 0.3032Hipótesis nula de la prueba
La hipótesis nula de la prueba de Shapiro-Wilk es que la distribución de la serie de datos se distribuye aproximadamente como una normal.
Homocedasticidad | independencia: residuos estandarizados
Homocedasticidad: prueba de Bartlett
Bartlett test of homogeneity of variances
data: resid(modelo) and trat
Bartlett's K-squared = 1.9784, df = 2, p-value = 0.3719Hipótesis nula de la prueba
La hipótesis nula de la prueba de Bartlett es que existe homogeneidad de varianzas entre grupos.
Homocedasticidad: prueba de Levene
Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = mean)
Df F value Pr(>F)
group 2 0.5131 0.6043
27 Hipótesis nula de la prueba
La hipótesis nula de la prueba de Levene es que existe homogeneidad de varianzas entre grupos.
Importante
Avanzaremos en el análisis de la varianza únicamente en el caso de que se cumplan todos los supuestos del modelo. En caso contrario, se deben buscar alternativas, como ser los métodos no paramétricos o de distribución libre.
Análisis de la varianza a una vía
\[ \sum_{ijk} (x_{ijk} - \bar{X})^2 = \sum_{ij} (x_{ij} - \hat x_i)^2 + \sum_{ij}(\hat x_i - \bar{X})^2 \]
\[ \Large SCT = SCEE + SCTrat \]
Hipótesis
\(H_0: \space \mu_1=\mu_2=\mu_3\)
\(H_1:\) Al menos una de las medias es diferente.
\(\alpha: 0,05\)
\(F_{calc}=\frac{CMTrat}{CMEE}\sim F(\nu_1,\nu_2)\)
Regla de decisión: se rechaza \(H_0 \iff p.valor<\alpha\)
Decisión y conclusión
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
trat 2 293.58 146.79 42.78 4.26e-09 ***
Residuals 27 92.64 3.43
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Decisión y conclusión: Se rechaza \(H_0\). Hay evidencia para afirmar que al menos una de las especies tiene capacidad bioacumuladora de As diferente al resto.
Tabla “F” de Snedecor para \(\alpha=0.05\)
gl1: 1 gl1: 2 gl1: 3 gl1: 4 gl1: 5 gl1: 6
gl2: 1 161.447639 199.500000 215.707345 224.583241 230.161878 233.986000
gl2: 2 18.512821 19.000000 19.164292 19.246794 19.296410 19.329534
gl2: 3 10.127964 9.552094 9.276628 9.117182 9.013455 8.940645
gl2: 4 7.708647 6.944272 6.591382 6.388233 6.256057 6.163132
gl2: 5 6.607891 5.786135 5.409451 5.192168 5.050329 4.950288
gl2: 6 5.987378 5.143253 4.757063 4.533677 4.387374 4.283866
gl2: 7 5.591448 4.737414 4.346831 4.120312 3.971523 3.865969
gl2: 8 5.317655 4.458970 4.066181 3.837853 3.687499 3.580580
gl2: 9 5.117355 4.256495 3.862548 3.633089 3.481659 3.373754
gl2: 10 4.964603 4.102821 3.708265 3.478050 3.325835 3.217175
gl2: 11 4.844336 3.982298 3.587434 3.356690 3.203874 3.094613
gl2: 12 4.747225 3.885294 3.490295 3.259167 3.105875 2.996120
gl2: 13 4.667193 3.805565 3.410534 3.179117 3.025438 2.915269
gl2: 14 4.600110 3.738892 3.343889 3.112250 2.958249 2.847726
gl2: 15 4.543077 3.682320 3.287382 3.055568 2.901295 2.790465
gl2: 16 4.493998 3.633723 3.238872 3.006917 2.852409 2.741311
gl2: 17 4.451322 3.591531 3.196777 2.964708 2.809996 2.698660
gl2: 18 4.413873 3.554557 3.159908 2.927744 2.772853 2.661305
gl2: 19 4.380750 3.521893 3.127350 2.895107 2.740058 2.628318
gl2: 20 4.351244 3.492828 3.098391 2.866081 2.710890 2.598978
gl2: 21 4.324794 3.466800 3.072467 2.840100 2.684781 2.572712
gl2: 22 4.300950 3.443357 3.049125 2.816708 2.661274 2.549061
gl2: 23 4.279344 3.422132 3.027998 2.795539 2.639999 2.527655
gl2: 24 4.259677 3.402826 3.008787 2.776289 2.620654 2.508189
gl2: 25 4.241699 3.385190 2.991241 2.758710 2.602987 2.490410
gl2: 26 4.225201 3.369016 2.975154 2.742594 2.586790 2.474109
gl2: 27 4.210008 3.354131 2.960351 2.727765 2.571886 2.459108
gl2: 28 4.195972 3.340386 2.946685 2.714076 2.558128 2.445259
gl2: 29 4.182964 3.327654 2.934030 2.701399 2.545386 2.432434
gl2: 30 4.170877 3.315830 2.922277 2.689628 2.533555 2.420523
gl2: 31 4.159615 3.304817 2.911334 2.678667 2.522538 2.409432
gl2: 32 4.149097 3.294537 2.901120 2.668437 2.512255 2.399080
gl2: 33 4.139252 3.284918 2.891564 2.658867 2.502635 2.389394
gl2: 34 4.130018 3.275898 2.882604 2.649894 2.493616 2.380313
gl2: 35 4.121338 3.267424 2.874187 2.641465 2.485143 2.371781
gl2: 36 4.113165 3.259446 2.866266 2.633532 2.477169 2.363751
gl2: 37 4.105456 3.251924 2.858796 2.626052 2.469650 2.356179
gl2: 38 4.098172 3.244818 2.851741 2.618988 2.462548 2.349027
gl2: 39 4.091279 3.238096 2.845068 2.612306 2.455831 2.342262
gl2: 40 4.084746 3.231727 2.838745 2.605975 2.449466 2.335852
gl2: 41 4.078546 3.225684 2.832747 2.599969 2.443429 2.329771
gl2: 42 4.072654 3.219942 2.827049 2.594263 2.437693 2.323994
gl2: 43 4.067047 3.214480 2.821628 2.588836 2.432236 2.318498
gl2: 44 4.061706 3.209278 2.816466 2.583667 2.427040 2.313264
gl2: 45 4.056612 3.204317 2.811544 2.578739 2.422085 2.308273
gl2: 46 4.051749 3.199582 2.806845 2.574035 2.417356 2.303509
gl2: 47 4.047100 3.195056 2.802355 2.569540 2.412837 2.298956
gl2: 48 4.042652 3.190727 2.798061 2.565241 2.408514 2.294601
gl2: 49 4.038393 3.186582 2.793949 2.561124 2.404375 2.290432
gl2: 50 4.034310 3.182610 2.790008 2.557179 2.400409 2.286436
gl1: 7 gl1: 8 gl1: 9 gl1: 10 gl1: 11 gl1: 12
gl2: 1 236.768400 238.882695 240.543255 241.881747 242.983458 243.906038
gl2: 2 19.353218 19.370993 19.384826 19.395897 19.404958 19.412511
gl2: 3 8.886743 8.845238 8.812300 8.785525 8.763333 8.744641
gl2: 4 6.094211 6.041044 5.998779 5.964371 5.935813 5.911729
gl2: 5 4.875872 4.818320 4.772466 4.735063 4.703967 4.677704
gl2: 6 4.206658 4.146804 4.099016 4.059963 4.027442 3.999935
gl2: 7 3.787044 3.725725 3.676675 3.636523 3.603037 3.574676
gl2: 8 3.500464 3.438101 3.388130 3.347163 3.312951 3.283939
gl2: 9 3.292746 3.229583 3.178893 3.137280 3.102485 3.072947
gl2: 10 3.135465 3.071658 3.020383 2.978237 2.942957 2.912977
gl2: 11 3.012330 2.947990 2.896223 2.853625 2.817930 2.787569
gl2: 12 2.913358 2.848565 2.796375 2.753387 2.717331 2.686637
gl2: 13 2.832098 2.766913 2.714356 2.671024 2.634650 2.603661
gl2: 14 2.764199 2.698672 2.645791 2.602155 2.565497 2.534243
gl2: 15 2.706627 2.640797 2.587626 2.543719 2.506806 2.475313
gl2: 16 2.657197 2.591096 2.537667 2.493513 2.456369 2.424660
gl2: 17 2.614299 2.547955 2.494291 2.449916 2.412561 2.380654
gl2: 18 2.576722 2.510158 2.456281 2.411702 2.374156 2.342067
gl2: 19 2.543534 2.476770 2.422699 2.377934 2.340210 2.307954
gl2: 20 2.514011 2.447064 2.392814 2.347878 2.309991 2.277581
gl2: 21 2.487578 2.420462 2.366048 2.320953 2.282916 2.250362
gl2: 22 2.463774 2.396503 2.341937 2.296696 2.258518 2.225831
gl2: 23 2.442226 2.374812 2.320105 2.274728 2.236419 2.203607
gl2: 24 2.422629 2.355081 2.300244 2.254739 2.216309 2.183380
gl2: 25 2.404728 2.337057 2.282097 2.236474 2.197929 2.164891
gl2: 26 2.388314 2.320527 2.265453 2.219718 2.181067 2.147926
gl2: 27 2.373208 2.305313 2.250131 2.204292 2.165540 2.132303
gl2: 28 2.359260 2.291264 2.235982 2.190044 2.151197 2.117869
gl2: 29 2.346342 2.278251 2.222874 2.176844 2.137908 2.104493
gl2: 30 2.334344 2.266163 2.210697 2.164580 2.125559 2.092063
gl2: 31 2.323171 2.254906 2.199355 2.153156 2.114054 2.080482
gl2: 32 2.312741 2.244396 2.188766 2.142488 2.103311 2.069665
gl2: 33 2.302982 2.234562 2.178856 2.132504 2.093254 2.059539
gl2: 34 2.293832 2.225340 2.169562 2.123140 2.083822 2.050040
gl2: 35 2.285235 2.216675 2.160829 2.114340 2.074956 2.041111
gl2: 36 2.277143 2.208518 2.152607 2.106054 2.066608 2.032703
gl2: 37 2.269512 2.200826 2.144853 2.098239 2.058734 2.024771
gl2: 38 2.262304 2.193559 2.137528 2.090856 2.051294 2.017276
gl2: 39 2.255485 2.186685 2.130597 2.083869 2.044253 2.010183
gl2: 40 2.249024 2.180170 2.124029 2.077248 2.037580 2.003459
gl2: 41 2.242894 2.173989 2.117797 2.070965 2.031247 1.997078
gl2: 42 2.237070 2.168117 2.111875 2.064994 2.025229 1.991013
gl2: 43 2.231530 2.162530 2.106241 2.059313 2.019502 1.985242
gl2: 44 2.226253 2.157208 2.100873 2.053901 2.014046 1.979743
gl2: 45 2.221221 2.152133 2.095755 2.048739 2.008842 1.974498
gl2: 46 2.216417 2.147288 2.090868 2.043811 2.003873 1.969490
gl2: 47 2.211827 2.142658 2.086198 2.039101 1.999124 1.964702
gl2: 48 2.207436 2.138229 2.081730 2.034595 1.994580 1.960121
gl2: 49 2.203232 2.133988 2.077452 2.030279 1.990228 1.955734
gl2: 50 2.199202 2.129923 2.073351 2.026143 1.986056 1.951528
gl1: 13 gl1: 14 gl1: 15 gl1: 16 gl1: 17 gl1: 18
gl2: 1 244.689847 245.363977 245.949926 246.463922 246.918444 247.323244
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gl2: 5 4.457051 4.455003 4.453045 4.451170 4.449373 4.447649
gl2: 6 3.767119 3.764942 3.762859 3.760865 3.758953 3.757120
gl2: 7 3.332934 3.330656 3.328477 3.326390 3.324389 3.322470
gl2: 8 3.035006 3.032644 3.030383 3.028217 3.026141 3.024149
gl2: 9 2.817918 2.815481 2.813149 2.810914 2.808772 2.806716
gl2: 10 2.652622 2.650118 2.647720 2.645424 2.643221 2.641107
gl2: 11 2.522472 2.519906 2.517450 2.515096 2.512838 2.510671
gl2: 12 2.417262 2.414639 2.412128 2.409721 2.407412 2.405195
gl2: 13 2.330390 2.327714 2.325152 2.322695 2.320339 2.318076
gl2: 14 2.257400 2.254674 2.252064 2.249561 2.247160 2.244854
gl2: 15 2.195175 2.192402 2.189746 2.187200 2.184757 2.182410
gl2: 16 2.141468 2.138651 2.135953 2.133365 2.130882 2.128497
gl2: 17 2.094620 2.091762 2.089024 2.086397 2.083877 2.081455
gl2: 18 2.053380 2.050483 2.047706 2.045043 2.042486 2.040030
gl2: 19 2.016784 2.013849 2.011036 2.008337 2.005747 2.003258
gl2: 20 1.984078 1.981107 1.978259 1.975528 1.972905 1.970384
gl2: 21 1.954665 1.951660 1.948779 1.946015 1.943361 1.940811
gl2: 22 1.928064 1.925026 1.922113 1.919319 1.916636 1.914057
gl2: 23 1.903884 1.900815 1.897872 1.895049 1.892337 1.889731
gl2: 24 1.881804 1.878705 1.875734 1.872882 1.870144 1.867511
gl2: 25 1.861559 1.858431 1.855432 1.852554 1.849789 1.847131
gl2: 26 1.842925 1.839770 1.836744 1.833840 1.831050 1.828368
gl2: 27 1.825714 1.822533 1.819482 1.816553 1.813739 1.811033
gl2: 28 1.809768 1.806562 1.803486 1.800533 1.797696 1.794967
gl2: 29 1.794950 1.791719 1.788619 1.785643 1.782784 1.780034
gl2: 30 1.781142 1.777887 1.774765 1.771767 1.768886 1.766115
gl2: 31 1.768243 1.764966 1.761822 1.758802 1.755901 1.753109
gl2: 32 1.756166 1.752867 1.749701 1.746661 1.743739 1.740928
gl2: 33 1.744832 1.741512 1.738326 1.735266 1.732324 1.729495
gl2: 34 1.734175 1.730834 1.727628 1.724549 1.721589 1.718741
gl2: 35 1.724134 1.720774 1.717548 1.714451 1.711472 1.708607
gl2: 36 1.714657 1.711278 1.708034 1.704918 1.701922 1.699040
gl2: 37 1.705698 1.702300 1.699038 1.695905 1.692892 1.689993
gl2: 38 1.697214 1.693798 1.690519 1.687369 1.684339 1.681424
gl2: 39 1.689168 1.685735 1.682439 1.679272 1.676227 1.673296
gl2: 40 1.681527 1.678077 1.674764 1.671582 1.668521 1.665575
gl2: 41 1.674260 1.670794 1.667465 1.664267 1.661191 1.658231
gl2: 42 1.667341 1.663858 1.660515 1.657301 1.654211 1.651236
gl2: 43 1.660744 1.657246 1.653887 1.650659 1.647555 1.644566
gl2: 44 1.654447 1.650935 1.647561 1.644319 1.641201 1.638198
gl2: 45 1.648431 1.644904 1.641516 1.638260 1.635128 1.632113
gl2: 46 1.642676 1.639134 1.635733 1.632464 1.629319 1.626291
gl2: 47 1.637166 1.633610 1.630196 1.626913 1.623755 1.620715
gl2: 48 1.631885 1.628316 1.624888 1.621593 1.618423 1.615370
gl2: 49 1.626819 1.623237 1.619797 1.616489 1.613307 1.610242
gl2: 50 1.621955 1.618361 1.614908 1.611588 1.608394 1.605318
gl1: 49 gl1: 50
gl2: 1 251.722586 251.774158
gl2: 2 19.475325 19.475733
gl2: 3 8.582095 8.580996
gl2: 4 5.700926 5.699492
gl2: 5 4.445995 4.444406
gl2: 6 3.755359 3.753668
gl2: 7 3.320627 3.318856
gl2: 8 3.022236 3.020398
gl2: 9 2.804741 2.802843
gl2: 10 2.639076 2.637124
gl2: 11 2.508589 2.506587
gl2: 12 2.403066 2.401018
gl2: 13 2.315902 2.313811
gl2: 14 2.242638 2.240507
gl2: 15 2.180155 2.177985
gl2: 16 2.126205 2.123999
gl2: 17 2.079127 2.076888
gl2: 18 2.037669 2.035397
gl2: 19 2.000865 1.998561
gl2: 20 1.967961 1.965628
gl2: 21 1.938358 1.935997
gl2: 22 1.911576 1.909188
gl2: 23 1.887223 1.884809
gl2: 24 1.864978 1.862539
gl2: 25 1.844573 1.842111
gl2: 26 1.825787 1.823301
gl2: 27 1.808429 1.805922
gl2: 28 1.792342 1.789813
gl2: 29 1.777387 1.774838
gl2: 30 1.763448 1.760879
gl2: 31 1.750423 1.747835
gl2: 32 1.738223 1.735616
gl2: 33 1.726771 1.724147
gl2: 34 1.715999 1.713358
gl2: 35 1.705848 1.703190
gl2: 36 1.696264 1.693590
gl2: 37 1.687201 1.684511
gl2: 38 1.678617 1.675911
gl2: 39 1.670474 1.667753
gl2: 40 1.662738 1.660003
gl2: 41 1.655379 1.652631
gl2: 42 1.648371 1.645608
gl2: 43 1.641687 1.638912
gl2: 44 1.635306 1.632518
gl2: 45 1.629208 1.626407
gl2: 46 1.623373 1.620560
gl2: 47 1.617785 1.614961
gl2: 48 1.612429 1.609593
gl2: 49 1.607289 1.604442
gl2: 50 1.602354 1.599495
Argumentos
La función curve() incluye como argumentos la función df(), que a su vez requiere de los argumentos x, que es el dominio sobre el cual será calculada la función y que en este caso va de 0 a 45, y df1 y df2 son los grados de libertad del numerador y denominador respectivamente. xlab e ylab permiten modificar las leyendas en los ejes correspondientes. La función abline() permite añadir una capa gráfica a la capa original. El argumento v permite añadir una línea vertical de color especificado mediante el argumento col.
Confiabilidad de las conclusiones
Coeficiente de variación: \(\frac{\sqrt{CMEE}}{\bar X}\)
Coeficiente de determinación: \(R^2\)
Resolución con InfoStat
Para importar datos al entorno de InfoStat, seleccionar el menú Archivo>>Nueva tabla. Luego, seleccionar el menú Edición>>Pegar con nombre de columnas.
InfoStat
Revisar que la columna trat sea de tipo categórica, y la columna as se tipo real. En caso contrario, sobre el nombre de la columna hacer click derecho, y seleccionar Tipo de dato, y luego el tipo de dato que corresponda.
A continuación, Estadísticas>>Análisis de la varianza.En la ventana selectora de variables, enviar la variable as al bloque `variables dependientes`,y a la variable trat al bloque `variables de clasificación`. Luego seleccionar Aceptar.
En la ventana siguiente, en el sector inferior derecho de la pestaña Modelo, marcar todos los tipos de residuos. Los mismos serán empleados para el análisis de los supuestos. Al dar Aceptar, en la tabla de datos se creará una columna por cada tipo de residuo.
Diagnósticos
Normalidad de residuos: qq-plot
Seleccionar el menú Gráficos>>Q-qplot. En el selector de variables, incluir la variable RDUO as dentro del bloque de Variables. Seleccionar Aceptar dos veces.
Normalidad de residuos: prueba Shapiro-Wilk
Seleccionar el menú Estadísticas>>Inferencia basada en una muestra>>Prueba de Normalidad (Shapiro-Wilks modificado). En el selector de variables, ingresar la variable RDUO as en el bloque de Variables. Seleccionar Aceptar.
Homocedasticidad: residuos vs predichos
Seleccionar el menú Gráficos>>Diagrama de dispersión. En el selector de variables, incluir la variable RE as (residuos estudentizados) en el eje Y, y la variable PRED as en el eje X. Luego, Aceptar.
Homocedasticidad: prueba de Levene
Consiste en realizar una análisis de la varianza de los residuos absolutos por grupo. Seleccionar el menú Estadísticas>>Análisis de la varianza. En el selector de variables, ingresar la variable RABS as en el bloque de Variables dependientes, y la variable trat en el bloque Variables de clasificación. Luego, Aceptar dos veces.
Interpretación
Una vez verificados los supuestos del modelo, volvemos a la primera ventana de resultados para realizar la interpretación de los resultados.
DBCA
Contenido
Aleatorización
ANAVA a dos vías: Modelo matemático
Supuestos del modelo
Hipótesis | decisión y conclusión
Diseños desbalanceados
Situación
Considere el mismo estudio de fitorremediación visto en el primer tema. Por una cuestión de simplicidad, se considerarán 5 (cinco) réplicas de cada especie (A, B y C). Suponga que por las características del espacio físico en el cual se dispondrán las macetas, algunas estarán más próximas al acceso del invernáculo (con mayor luminosidad, aireación, etc.) y otras estarán más alejadas del mismo. En este caso, puede ser conveniente realizar un control local según la posición relativa de las macetas al acceso del invernáculo. Nuevamente se desea probar si existen diferencias entre especies en su capacidad bioacumuladora de As.
Definiciones
Definir v.a. respuesta, tratamientos, bloques y U.E.
Variable respuesta: concentración de As en ppm en hojas de lechuga, repollo y rabanito sometidas a riego con agua de Susques.
Tratamientos: cada una de las especies: Brassica oleracea (A), Lactuca sativa (B) y Raphanus sativa (C), analizadas.
Bloques: Cada uno de los 5 niveles de distancia relativa de las macetas respecto del acceso al invernáculo.
U.E.: cada una de las plantas de lechuga, repollo y rabanito en macetas, sobre cuyas hojas se determinará la concentración de As.
Aleatorización
En este caso, se realiza una aleatorización completa en dos etapas:
- Aleatorización de los tratamientos dentro de cada bloque
- Aleatorización de los bloques en el espacio.
Datos
Argumentos
La función ggplot() permite construir gráficos añadiendo “capas” de información. El símbolo %>% (llamado “pipa”, incluido en la librería dplyr) permite concatenar funciones. En este caso se empleó para indicar que realizaremos un gráfico sobre el objeto datos. Una vez que comenzamos a realizar el gráfico por medio de la función ggplot(), cada capa de información se añade utilizando el símbolo +.
Los ejes se especifican a través de las aesthetics (aes), en la cual se especifica qué variable estará representada en el eje de las x y qué variable lo estará en el eje de las y.
La capa geometría de jitter permite representar puntos evitando su solapamiento. Entre los argumentos que es posible especificar se encuentrar la “estética” (aes) de color en función del bloque, size o tamaño del punto, y width o ancho de la dispersión de los puntos.
La capa geometría boxplot se añade por encima de las anteriores, y es posible modificar su transparencia por medio del argumento alpha.
Modelo matemático
\[ \Large y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j+\epsilon_{ij} \]
\(\forall \space i=1,2,3; \space j=1,2,...,5\)
\(\epsilon \sim N(0,\sigma^2)\)
Construcción del modelo
Argumentos
- El factor bloque es incluido en el modelo al solo efecto de realizar un control local. Por este motivo, no se debe especificar efectos de interacción tratamiento : bloque en los términos del modelo.
Diagnóstico del modelo
Normalidad de residuos: qq-plot
Normalidad de residuos: prueba Shapiro-Wilk
Shapiro-Wilk normality test
data: resid(modelo)
W = 0.94573, p-value = 0.4599Hipótesis nula de la prueba
La hipótesis nula de la prueba de Shapiro-Wilk es que la distribución de la serie de datos se distribuye aproximadamente como una normal.
Homocedasticidad | independencia: residuos estandarizados
Homocedasticidad: prueba de Bartlett
Bartlett test of homogeneity of variances
data: resid(modelo) and trat
Bartlett's K-squared = 0.55187, df = 2, p-value = 0.7589Hipótesis nula de la prueba
La hipótesis nula de la prueba de Bartlett es que existe homogeneidad de varianzas entre grupos.
Homocedasticidad: prueba de Levene
Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = mean)
Df F value Pr(>F)
group 2 0.8572 0.4488
12 Hipótesis nula de la prueba
La hipótesis nula de la prueba de Levene es que existe homogeneidad de varianzas entre grupos.
Importante
Avanzaremos en el análisis de la varianza únicamente en el caso de que se cumplan todos los supuestos del modelo. En caso contrario, se deben buscar alternativas, como ser los métodos no paramétricos o de distribución libre.
Análisis de la varianza a dos vías
\[ \small \sum_{ij} (x_{ij} - \bar{X})^2 = \sum_{ij} (x_{ij} - \hat x_i- \hat x_j + \bar X)^2 + \sum_{ij}(\hat x_i - \bar{X})^2 + \sum_{ij}(\hat x_j - \bar{X})^2 \]
\[ \Large SCT = SCEE + SCTrat + SCBl \]
Hipótesis (tratamientos)
- \(H_0: \space \mu_1=\mu_2=\mu_3\)
- \(H_1:\) Al menos una de las medias es diferente.
- \(\alpha: 0,05\)
- \(F_{calc}=\frac{CMTrat}{CMEE}\sim F(\nu_1,\nu_2)\)
- Regla de decisión: se rechaza \(H_0 \iff p.valor<\alpha\)
Pregunta
¿Cuáles son las hipótesis para bloques?
Decisión y conclusión
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
trat 2 128.71 64.36 13.932 0.00248 **
bl 4 26.50 6.63 1.434 0.30714
Residuals 8 36.95 4.62
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Decisión y conclusión: Se rechaza \(H_0\). Hay evidencia para afirmar que al menos una de las especies tiene capacidad bioacumuladora de As diferente al resto.
Pregunta
¿Qué decisión | conclusión corresponde a los bloques?
Tabla “F” de Snedecor para \(\alpha=0.05\)
gl1: 1 gl1: 2 gl1: 3 gl1: 4 gl1: 5 gl1: 6
gl2: 1 161.447639 199.500000 215.707345 224.583241 230.161878 233.986000
gl2: 2 18.512821 19.000000 19.164292 19.246794 19.296410 19.329534
gl2: 3 10.127964 9.552094 9.276628 9.117182 9.013455 8.940645
gl2: 4 7.708647 6.944272 6.591382 6.388233 6.256057 6.163132
gl2: 5 6.607891 5.786135 5.409451 5.192168 5.050329 4.950288
gl2: 6 5.987378 5.143253 4.757063 4.533677 4.387374 4.283866
gl2: 7 5.591448 4.737414 4.346831 4.120312 3.971523 3.865969
gl2: 8 5.317655 4.458970 4.066181 3.837853 3.687499 3.580580
gl2: 9 5.117355 4.256495 3.862548 3.633089 3.481659 3.373754
gl2: 10 4.964603 4.102821 3.708265 3.478050 3.325835 3.217175
gl2: 11 4.844336 3.982298 3.587434 3.356690 3.203874 3.094613
gl2: 12 4.747225 3.885294 3.490295 3.259167 3.105875 2.996120
gl2: 13 4.667193 3.805565 3.410534 3.179117 3.025438 2.915269
gl2: 14 4.600110 3.738892 3.343889 3.112250 2.958249 2.847726
gl2: 15 4.543077 3.682320 3.287382 3.055568 2.901295 2.790465
gl2: 16 4.493998 3.633723 3.238872 3.006917 2.852409 2.741311
gl2: 17 4.451322 3.591531 3.196777 2.964708 2.809996 2.698660
gl2: 18 4.413873 3.554557 3.159908 2.927744 2.772853 2.661305
gl2: 19 4.380750 3.521893 3.127350 2.895107 2.740058 2.628318
gl2: 20 4.351244 3.492828 3.098391 2.866081 2.710890 2.598978
gl2: 21 4.324794 3.466800 3.072467 2.840100 2.684781 2.572712
gl2: 22 4.300950 3.443357 3.049125 2.816708 2.661274 2.549061
gl2: 23 4.279344 3.422132 3.027998 2.795539 2.639999 2.527655
gl2: 24 4.259677 3.402826 3.008787 2.776289 2.620654 2.508189
gl2: 25 4.241699 3.385190 2.991241 2.758710 2.602987 2.490410
gl2: 26 4.225201 3.369016 2.975154 2.742594 2.586790 2.474109
gl2: 27 4.210008 3.354131 2.960351 2.727765 2.571886 2.459108
gl2: 28 4.195972 3.340386 2.946685 2.714076 2.558128 2.445259
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gl2: 26 1.825787 1.823301
gl2: 27 1.808429 1.805922
gl2: 28 1.792342 1.789813
gl2: 29 1.777387 1.774838
gl2: 30 1.763448 1.760879
gl2: 31 1.750423 1.747835
gl2: 32 1.738223 1.735616
gl2: 33 1.726771 1.724147
gl2: 34 1.715999 1.713358
gl2: 35 1.705848 1.703190
gl2: 36 1.696264 1.693590
gl2: 37 1.687201 1.684511
gl2: 38 1.678617 1.675911
gl2: 39 1.670474 1.667753
gl2: 40 1.662738 1.660003
gl2: 41 1.655379 1.652631
gl2: 42 1.648371 1.645608
gl2: 43 1.641687 1.638912
gl2: 44 1.635306 1.632518
gl2: 45 1.629208 1.626407
gl2: 46 1.623373 1.620560
gl2: 47 1.617785 1.614961
gl2: 48 1.612429 1.609593
gl2: 49 1.607289 1.604442
gl2: 50 1.602354 1.599495
Argumentos
La función curve() incluye como argumentos la función df(), que a su vez requiere de los argumentos x, que es el dominio sobre el cual será calculada la función y que en este caso va de 0 a 15, y df1 y df2 son los grados de libertad del numerador y denominador respectivamente. xlab e ylab permiten modificar las leyendas en los ejes correspondientes. La función abline() permite añadir una capa gráfica a la capa original. El argumento v permite añadir una línea vertical de color especificado mediante el argumento col.
Confiabilidad de las conclusiones
Coeficiente de variación: \(\frac{\sqrt{CMEE}}{\bar X}\)
Coeficiente de determinación: \(R^2\)
Diseños desbalanceados
Supongamos que por algún motivo, se pierde un material experimental.
Comparación
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
trat 2 135.40 67.70 14.062 0.00353 **
bl 4 20.58 5.14 1.069 0.43887
Residuals 7 33.70 4.81
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
bl 4 24.03 6.01 1.248 0.3733
trat 2 131.94 65.97 13.703 0.0038 **
Residuals 7 33.70 4.81
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Por defecto, en R (y otros programas) se realiza lo que se conoce como suma de cuadrados ‘Tipo 1’.
Suma de cuadrados “Tipo 3”
Anova Table (Type III tests)
Response: as
Sum Sq Df F value Pr(>F)
(Intercept) 610.00 1 126.7050 9.757e-06 ***
trat 131.94 2 13.7029 0.003799 **
bl 20.58 4 1.0685 0.438867
Residuals 33.70 7
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Anova Table (Type III tests)
Response: as
Sum Sq Df F value Pr(>F)
(Intercept) 610.00 1 126.7050 9.757e-06 ***
bl 20.58 4 1.0685 0.438867
trat 131.94 2 13.7029 0.003799 **
Residuals 33.70 7
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Estimación parcela perdida
bl
trat I II III IV V Sum
A 15.59 18.55 22.17 15.31 20.86 92.48
B 26.01 23.85 25.91 25.87 25.22 126.86
C 22.05 0.00 23.45 25.13 26.92 97.55
Sum 63.65 42.40 71.53 66.31 73.00 316.89\(\tiny Parcela \space perdida=x=\frac{JB+ITr-G}{(I-1)(J-1)}\)
datos.comp=datos.des%>%rbind(c("C","II",x))
modelo.3=lm(as~trat+bl,datos.comp)
Anova(modelo.3,type=3)Anova Table (Type III tests)
Response: as
Sum Sq Df F value Pr(>F)
(Intercept) 620.89 1 147.3915 1.962e-06 ***
trat 135.37 2 16.0681 0.001578 **
bl 21.25 4 1.2611 0.360290
Residuals 33.70 8
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1z=((B-(I-1)*x)^2)/(I*(I-1)) # coeficiente ajuste CMTrat
SCtrat.aj=135.37-z
CMtrat.aj=SCtrat.aj/2
CMEE.aj=33.70/7
F.calc=CMtrat.aj/CMEE.aj
pf(F.calc,df1=2,df2 = 7,lower.tail = FALSE)[1] 0.003799047Modelos mixtos
Linear mixed-effects model fit by REML
Data: datos.des
AIC BIC logLik
63.34773 65.33721 -26.67386
Random effects:
Formula: ~1 | bl
(Intercept) Residual
StdDev: 0.5156704 2.160211
Fixed effects: as ~ trat
Value Std.Error DF t-value p-value
(Intercept) 18.496000 0.9932199 7 18.622261 0.0000
tratB 6.876000 1.3662376 7 5.032800 0.0015
tratC 5.872726 1.4532262 7 4.041165 0.0049
Correlation:
(Intr) tratB
tratB -0.688
tratC -0.647 0.470
Standardized Within-Group Residuals:
Min Q1 Med Q3 Max
-1.4314510 -0.6272199 0.1173099 0.3979553 1.6265697
Number of Observations: 14
Number of Groups: 5 Resolución con InfoStat
Para importar datos al entorno de InfoStat, seleccionar el menú Archivo>>Nueva tabla. Luego, seleccionar el menú Edición>>Pegar con nombre de columnas.
InfoStat
Revisar que las columnas trat y bl sean de tipo categórica, y la columna as se tipo real. En caso contrario, sobre el nombre de la columna hacer click derecho, y seleccionar Tipo de dato, y luego el tipo de dato que corresponda.
A continuación, Estadísticas>>Análisis de la varianza.En la ventana selectora de variables, enviar la variable as al bloque `variables dependientes`,y a las variables trat y bl al bloque `variables de clasificación`. Luego seleccionar Aceptar.
En la ventana siguiente, en el sector inferior derecho de la pestaña Modelo, marcar todos los tipos de residuos. Los mismos serán empleados para el análisis de los supuestos. Al dar Aceptar, en la tabla de datos se creará una columna por cada tipo de residuo.
Diagnósticos
Normalidad de residuos: qq-plot
Seleccionar el menú Gráficos>>Q-qplot. En el selector de variables, incluir la variable RDUO as dentro del bloque de Variables. Seleccionar Aceptar dos veces.
Normalidad de residuos: prueba Shapiro-Wilk
Seleccionar el menú Estadísticas>>Inferencia basada en una muestra>>Prueba de Normalidad (Shapiro-Wilks modificado). En el selector de variables, ingresar la variable RDUO as en el bloque de Variables. Seleccionar Aceptar.
Homocedasticidad: residuos vs predichos
Seleccionar el menú Gráficos>>Diagrama de dispersión. En el selector de variables, incluir la variable RE as (residuos estudentizados) en el eje Y, y la variable PRED as en el eje X. Luego, Aceptar.
Homocedasticidad: prueba de Levene
Consiste en realizar una análisis de la varianza de los residuos absolutos por grupo. Seleccionar el menú Estadísticas>>Análisis de la varianza. En el selector de variables, ingresar la variable RABS as en el bloque de Variables dependientes, y la variable trat en el bloque Variables de clasificación. Luego, Aceptar dos veces.
Interpretación
Una vez verificados los supuestos del modelo, volvemos a la primera ventana de resultados para realizar la interpretación de los resultados.
Diseños desbalanceados y modelos mixtos en InfoStat
En InfoStat, en caso de diseños desbalanceados se realiza por defecto la suma de cuadrados de Tipo 1 (secuencial). En la ventana de resultados, se informa esta situación.
Los modelos mixtos se construyen desde Estadísticas>>Modelos lineales generales y mixtos. Dado que es una implementación en R, no se desarrolla en esta guía.
DCL
Contenido
Aleatorización
Modelo matemático
Supuestos del modelo
Hipótesis | decisión y conclusión
Diseños desbalanceados
Situación
Se desea comparar la capacidad bioacumuladora de 5 especies hortícolas (A, B, C, D y E). Se considerarán 5 (cinco) réplicas por cada especie. Suponga que por las características del espacio físico en el cual se dispondrán las macetas, algunas estarán más próximas al acceso del invernáculo (con mayor luminosidad, aireación, etc.) y otras estarán más alejadas del mismo. Además, se cuenta con 5 sustratos diferentes.
Definiciones
Definir v.a., tratamientos, filas, columnas y U.E.
Variable respuesta: concentración de As en ppm en hojas de hortalizas sometidas a riego con agua de Susques.
Tratamientos: cada una de las especies analizadas: A, B, C, D y E.
Filas: Ubicación relativa al acceso del invernadero: 1, 2, 3, 4, 5.
Columnas: Cada uno de los sustratos empleados en el ensayo: 1, 2, 3, 4, 5.
U.E.: cada una de las plantas en macetas, sobre cuyas hojas se determinará la concentración de As.
Aleatorización
En este caso, se realiza una aleatorización completa en tres etapas:
esquema.base=matrix(c("A","B","C","D","E",
"B","C","D","E","A",
"C","D","E","A","B",
"D","E","A","B","C",
"E","A","B","C","D"),
ncol = 5,nrow = 5)
esquema.base [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] "A" "B" "C" "D" "E"
[2,] "B" "C" "D" "E" "A"
[3,] "C" "D" "E" "A" "B"
[4,] "D" "E" "A" "B" "C"
[5,] "E" "A" "B" "C" "D" [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] "B" "C" "D" "E" "A"
[2,] "E" "A" "B" "C" "D"
[3,] "A" "B" "C" "D" "E"
[4,] "D" "E" "A" "B" "C"
[5,] "C" "D" "E" "A" "B" [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] "B" "A" "C" "D" "E"
[2,] "E" "D" "A" "B" "C"
[3,] "A" "E" "B" "C" "D"
[4,] "D" "C" "E" "A" "B"
[5,] "C" "B" "D" "E" "A" # 3er paso: asignación aleatoria de letras latinas a cada tratamiento
especies=c("L.sativa","B.oleracea1","B.oleracea2","R.sativa","B.vulgaris")
names(especies)=sample(c("A","B","C","D","E"))
especies B C E D A
"L.sativa" "B.oleracea1" "B.oleracea2" "R.sativa" "B.vulgaris" Datos
Modelo matemático
\[ \Large y_{ijk} = \mu + \tau_i + \beta_j+ \gamma_k+\epsilon_{ijk} \]
\(\forall \space i=j=k=1:5\)
\(\epsilon \sim N(0,\sigma^2)\)
Construcción del modelo
Argumentos
- Los factores filas y columnas son incluídos en el modelo al solo efecto de realizar un control local. Por este motivo, no se debe especificar efectos de interacción de tratamientos y filas/columnas en los términos del modelo.
Diagnóstico del modelo
Normalidad de residuos: qq-plot
Normalidad de residuos: prueba Shapiro-Wilk
Shapiro-Wilk normality test
data: resid(modelo)
W = 0.92638, p-value = 0.07171Hipótesis nula de la prueba
La hipótesis nula de la prueba de Shapiro-Wilk es que la distribución de la serie de datos se distribuye aproximadamente como una normal.
Homocedasticidad | independencia: residuos estandarizados
Homocedasticidad: prueba de Bartlett
Bartlett test of homogeneity of variances
data: resid(modelo) and datos$trat
Bartlett's K-squared = 0.96118, df = 4, p-value = 0.9156Hipótesis nula de la prueba
La hipótesis nula de la prueba de Bartlett es que existe homogeneidad de varianzas entre grupos.
Homocedasticidad: prueba de Levene
Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = mean)
Df F value Pr(>F)
group 4 0.3418 0.8465
20 Hipótesis nula de la prueba
La hipótesis nula de la prueba de Levene es que existe homogeneidad de varianzas entre grupos.
Importante
Avanzaremos en el análisis de la varianza únicamente en el caso de que se cumplan todos los supuestos del modelo. En caso contrario, se deben buscar alternativas, como ser los métodos no paramétricos o de distribución libre.
Análisis de la varianza. Partición de SC
\[ \small \sum_{ijk} (x_{ijk} - \bar{X})^2 = SCEE + \sum_{i}r(\hat x_i - \bar{X})^2 + \sum_{j}r(\hat x_j - \bar{X})^2+ \sum_{k}r(\hat x_k - \bar{X})^2 \]
\[ \small SCT = SCEE + SCTrat + SCFilas + SCColumnas \]
Hipótesis (tratamientos)
- \(H_0: \space \mu_1=\mu_2=\mu_3=\mu_4=\mu_5\)
- \(H_1:\) Al menos una de las medias es diferente.
- \(\alpha: 0,05\)
- \(F_{calc}=\frac{CMTrat}{CMEE}\sim F(\nu_1,\nu_2)\)
- Regla de decisión: se rechaza \(H_0 \iff p.valor<\alpha\)
Pregunta
¿Cuáles son las hipótesis para filas y columnas?
Decisión y conclusión
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
trat 4 140.11 35.03 10.314 0.000739 ***
filas 4 28.29 7.07 2.083 0.146255
cols 4 25.23 6.31 1.857 0.182915
Residuals 12 40.75 3.40
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Decisión y conclusión: Se rechaza \(H_0\). Hay evidencia para afirmar que al menos una de las especies tiene capacidad bioacumuladora de As diferente al resto.
Pregunta
¿Qué decisión | conclusión corresponde a las filas | columnas?
Tabla “F” de Snedecor para \(\alpha=0.05\)
gl1: 1 gl1: 2 gl1: 3 gl1: 4 gl1: 5 gl1: 6
gl2: 1 161.447639 199.500000 215.707345 224.583241 230.161878 233.986000
gl2: 2 18.512821 19.000000 19.164292 19.246794 19.296410 19.329534
gl2: 3 10.127964 9.552094 9.276628 9.117182 9.013455 8.940645
gl2: 4 7.708647 6.944272 6.591382 6.388233 6.256057 6.163132
gl2: 5 6.607891 5.786135 5.409451 5.192168 5.050329 4.950288
gl2: 6 5.987378 5.143253 4.757063 4.533677 4.387374 4.283866
gl2: 7 5.591448 4.737414 4.346831 4.120312 3.971523 3.865969
gl2: 8 5.317655 4.458970 4.066181 3.837853 3.687499 3.580580
gl2: 9 5.117355 4.256495 3.862548 3.633089 3.481659 3.373754
gl2: 10 4.964603 4.102821 3.708265 3.478050 3.325835 3.217175
gl2: 11 4.844336 3.982298 3.587434 3.356690 3.203874 3.094613
gl2: 12 4.747225 3.885294 3.490295 3.259167 3.105875 2.996120
gl2: 13 4.667193 3.805565 3.410534 3.179117 3.025438 2.915269
gl2: 14 4.600110 3.738892 3.343889 3.112250 2.958249 2.847726
gl2: 15 4.543077 3.682320 3.287382 3.055568 2.901295 2.790465
gl2: 16 4.493998 3.633723 3.238872 3.006917 2.852409 2.741311
gl2: 17 4.451322 3.591531 3.196777 2.964708 2.809996 2.698660
gl2: 18 4.413873 3.554557 3.159908 2.927744 2.772853 2.661305
gl2: 19 4.380750 3.521893 3.127350 2.895107 2.740058 2.628318
gl2: 20 4.351244 3.492828 3.098391 2.866081 2.710890 2.598978
gl2: 21 4.324794 3.466800 3.072467 2.840100 2.684781 2.572712
gl2: 22 4.300950 3.443357 3.049125 2.816708 2.661274 2.549061
gl2: 23 4.279344 3.422132 3.027998 2.795539 2.639999 2.527655
gl2: 24 4.259677 3.402826 3.008787 2.776289 2.620654 2.508189
gl2: 25 4.241699 3.385190 2.991241 2.758710 2.602987 2.490410
gl2: 26 4.225201 3.369016 2.975154 2.742594 2.586790 2.474109
gl2: 27 4.210008 3.354131 2.960351 2.727765 2.571886 2.459108
gl2: 28 4.195972 3.340386 2.946685 2.714076 2.558128 2.445259
gl2: 29 4.182964 3.327654 2.934030 2.701399 2.545386 2.432434
gl2: 30 4.170877 3.315830 2.922277 2.689628 2.533555 2.420523
gl2: 31 4.159615 3.304817 2.911334 2.678667 2.522538 2.409432
gl2: 32 4.149097 3.294537 2.901120 2.668437 2.512255 2.399080
gl2: 33 4.139252 3.284918 2.891564 2.658867 2.502635 2.389394
gl2: 34 4.130018 3.275898 2.882604 2.649894 2.493616 2.380313
gl2: 35 4.121338 3.267424 2.874187 2.641465 2.485143 2.371781
gl2: 36 4.113165 3.259446 2.866266 2.633532 2.477169 2.363751
gl2: 37 4.105456 3.251924 2.858796 2.626052 2.469650 2.356179
gl2: 38 4.098172 3.244818 2.851741 2.618988 2.462548 2.349027
gl2: 39 4.091279 3.238096 2.845068 2.612306 2.455831 2.342262
gl2: 40 4.084746 3.231727 2.838745 2.605975 2.449466 2.335852
gl2: 41 4.078546 3.225684 2.832747 2.599969 2.443429 2.329771
gl2: 42 4.072654 3.219942 2.827049 2.594263 2.437693 2.323994
gl2: 43 4.067047 3.214480 2.821628 2.588836 2.432236 2.318498
gl2: 44 4.061706 3.209278 2.816466 2.583667 2.427040 2.313264
gl2: 45 4.056612 3.204317 2.811544 2.578739 2.422085 2.308273
gl2: 46 4.051749 3.199582 2.806845 2.574035 2.417356 2.303509
gl2: 47 4.047100 3.195056 2.802355 2.569540 2.412837 2.298956
gl2: 48 4.042652 3.190727 2.798061 2.565241 2.408514 2.294601
gl2: 49 4.038393 3.186582 2.793949 2.561124 2.404375 2.290432
gl2: 50 4.034310 3.182610 2.790008 2.557179 2.400409 2.286436
gl1: 7 gl1: 8 gl1: 9 gl1: 10 gl1: 11 gl1: 12
gl2: 1 236.768400 238.882695 240.543255 241.881747 242.983458 243.906038
gl2: 2 19.353218 19.370993 19.384826 19.395897 19.404958 19.412511
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gl2: 7 3.349101 3.346063 3.343176 3.340430 3.337813 3.335317
gl2: 8 3.051763 3.048616 3.045625 3.042778 3.040065 3.037477
gl2: 9 2.835194 2.831951 2.828868 2.825933 2.823136 2.820467
gl2: 10 2.670364 2.667035 2.663869 2.660855 2.657982 2.655241
gl2: 11 2.540640 2.537233 2.533992 2.530905 2.527963 2.525155
gl2: 12 2.435823 2.432343 2.429033 2.425880 2.422874 2.420004
gl2: 13 2.349316 2.345769 2.342395 2.339180 2.336114 2.333188
gl2: 14 2.276667 2.273058 2.269623 2.266350 2.263229 2.260249
gl2: 15 2.214762 2.211093 2.207602 2.204276 2.201102 2.198072
gl2: 16 2.161356 2.157633 2.154089 2.150711 2.147488 2.144411
gl2: 17 2.114794 2.111018 2.107424 2.103998 2.100729 2.097606
gl2: 18 2.073823 2.069998 2.066357 2.062885 2.059573 2.056407
gl2: 19 2.037482 2.033611 2.029925 2.026410 2.023055 2.019850
gl2: 20 2.005019 2.001104 1.997375 1.993819 1.990425 1.987181
gl2: 21 1.975837 1.971880 1.968110 1.964515 1.961083 1.957803
gl2: 22 1.949457 1.945459 1.941651 1.938018 1.934550 1.931235
gl2: 23 1.925487 1.921451 1.917606 1.913938 1.910436 1.907088
gl2: 24 1.903609 1.899537 1.895656 1.891955 1.888419 1.885039
gl2: 25 1.883557 1.879449 1.875535 1.871801 1.868234 1.864823
gl2: 26 1.865107 1.860967 1.857020 1.853255 1.849657 1.846218
gl2: 27 1.848074 1.843902 1.839924 1.836129 1.832502 1.829034
gl2: 28 1.832299 1.828095 1.824088 1.820263 1.816609 1.813114
gl2: 29 1.817644 1.813411 1.809375 1.805523 1.801842 1.798321
gl2: 30 1.803994 1.799732 1.795669 1.791790 1.788083 1.784538
gl2: 31 1.791247 1.786958 1.782868 1.778964 1.775232 1.771662
gl2: 32 1.779315 1.775000 1.770885 1.766956 1.763200 1.759607
gl2: 33 1.768123 1.763782 1.759642 1.755689 1.751911 1.748295
gl2: 34 1.757602 1.753237 1.749073 1.745097 1.741296 1.737659
gl2: 35 1.747693 1.743304 1.739117 1.735119 1.731297 1.727639
gl2: 36 1.738343 1.733932 1.729723 1.725703 1.721860 1.718182
gl2: 37 1.729507 1.725073 1.720843 1.716803 1.712939 1.709241
gl2: 38 1.721142 1.716687 1.712436 1.708376 1.704493 1.700776
gl2: 39 1.713212 1.708736 1.704465 1.700385 1.696483 1.692748
gl2: 40 1.705682 1.701186 1.696896 1.692797 1.688877 1.685124
gl2: 41 1.698524 1.694009 1.689699 1.685582 1.681644 1.677874
gl2: 42 1.691709 1.687175 1.682848 1.678713 1.674758 1.670971
gl2: 43 1.685214 1.680662 1.676317 1.672165 1.668193 1.664389
gl2: 44 1.679017 1.674447 1.670085 1.665916 1.661928 1.658108
gl2: 45 1.673096 1.668509 1.664130 1.659945 1.655941 1.652107
gl2: 46 1.667435 1.662831 1.658436 1.654235 1.650216 1.646366
gl2: 47 1.662016 1.657396 1.652985 1.648769 1.644734 1.640870
gl2: 48 1.656823 1.652187 1.647761 1.643530 1.639481 1.635603
gl2: 49 1.651843 1.647192 1.642751 1.638505 1.634443 1.630551
gl2: 50 1.647063 1.642397 1.637941 1.633682 1.629605 1.625700
gl1: 43 gl1: 44 gl1: 45 gl1: 46 gl1: 47 gl1: 48
gl2: 1 251.363084 251.429770 251.493509 251.554492 251.612894 251.668877
gl2: 2 19.472479 19.473007 19.473512 19.473995 19.474457 19.474900
gl2: 3 8.589742 8.588324 8.586969 8.585672 8.584430 8.583238
gl2: 4 5.710907 5.709058 5.707289 5.705596 5.703974 5.702419
gl2: 5 4.457051 4.455003 4.453045 4.451170 4.449373 4.447649
gl2: 6 3.767119 3.764942 3.762859 3.760865 3.758953 3.757120
gl2: 7 3.332934 3.330656 3.328477 3.326390 3.324389 3.322470
gl2: 8 3.035006 3.032644 3.030383 3.028217 3.026141 3.024149
gl2: 9 2.817918 2.815481 2.813149 2.810914 2.808772 2.806716
gl2: 10 2.652622 2.650118 2.647720 2.645424 2.643221 2.641107
gl2: 11 2.522472 2.519906 2.517450 2.515096 2.512838 2.510671
gl2: 12 2.417262 2.414639 2.412128 2.409721 2.407412 2.405195
gl2: 13 2.330390 2.327714 2.325152 2.322695 2.320339 2.318076
gl2: 14 2.257400 2.254674 2.252064 2.249561 2.247160 2.244854
gl2: 15 2.195175 2.192402 2.189746 2.187200 2.184757 2.182410
gl2: 16 2.141468 2.138651 2.135953 2.133365 2.130882 2.128497
gl2: 17 2.094620 2.091762 2.089024 2.086397 2.083877 2.081455
gl2: 18 2.053380 2.050483 2.047706 2.045043 2.042486 2.040030
gl2: 19 2.016784 2.013849 2.011036 2.008337 2.005747 2.003258
gl2: 20 1.984078 1.981107 1.978259 1.975528 1.972905 1.970384
gl2: 21 1.954665 1.951660 1.948779 1.946015 1.943361 1.940811
gl2: 22 1.928064 1.925026 1.922113 1.919319 1.916636 1.914057
gl2: 23 1.903884 1.900815 1.897872 1.895049 1.892337 1.889731
gl2: 24 1.881804 1.878705 1.875734 1.872882 1.870144 1.867511
gl2: 25 1.861559 1.858431 1.855432 1.852554 1.849789 1.847131
gl2: 26 1.842925 1.839770 1.836744 1.833840 1.831050 1.828368
gl2: 27 1.825714 1.822533 1.819482 1.816553 1.813739 1.811033
gl2: 28 1.809768 1.806562 1.803486 1.800533 1.797696 1.794967
gl2: 29 1.794950 1.791719 1.788619 1.785643 1.782784 1.780034
gl2: 30 1.781142 1.777887 1.774765 1.771767 1.768886 1.766115
gl2: 31 1.768243 1.764966 1.761822 1.758802 1.755901 1.753109
gl2: 32 1.756166 1.752867 1.749701 1.746661 1.743739 1.740928
gl2: 33 1.744832 1.741512 1.738326 1.735266 1.732324 1.729495
gl2: 34 1.734175 1.730834 1.727628 1.724549 1.721589 1.718741
gl2: 35 1.724134 1.720774 1.717548 1.714451 1.711472 1.708607
gl2: 36 1.714657 1.711278 1.708034 1.704918 1.701922 1.699040
gl2: 37 1.705698 1.702300 1.699038 1.695905 1.692892 1.689993
gl2: 38 1.697214 1.693798 1.690519 1.687369 1.684339 1.681424
gl2: 39 1.689168 1.685735 1.682439 1.679272 1.676227 1.673296
gl2: 40 1.681527 1.678077 1.674764 1.671582 1.668521 1.665575
gl2: 41 1.674260 1.670794 1.667465 1.664267 1.661191 1.658231
gl2: 42 1.667341 1.663858 1.660515 1.657301 1.654211 1.651236
gl2: 43 1.660744 1.657246 1.653887 1.650659 1.647555 1.644566
gl2: 44 1.654447 1.650935 1.647561 1.644319 1.641201 1.638198
gl2: 45 1.648431 1.644904 1.641516 1.638260 1.635128 1.632113
gl2: 46 1.642676 1.639134 1.635733 1.632464 1.629319 1.626291
gl2: 47 1.637166 1.633610 1.630196 1.626913 1.623755 1.620715
gl2: 48 1.631885 1.628316 1.624888 1.621593 1.618423 1.615370
gl2: 49 1.626819 1.623237 1.619797 1.616489 1.613307 1.610242
gl2: 50 1.621955 1.618361 1.614908 1.611588 1.608394 1.605318
gl1: 49 gl1: 50
gl2: 1 251.722586 251.774158
gl2: 2 19.475325 19.475733
gl2: 3 8.582095 8.580996
gl2: 4 5.700926 5.699492
gl2: 5 4.445995 4.444406
gl2: 6 3.755359 3.753668
gl2: 7 3.320627 3.318856
gl2: 8 3.022236 3.020398
gl2: 9 2.804741 2.802843
gl2: 10 2.639076 2.637124
gl2: 11 2.508589 2.506587
gl2: 12 2.403066 2.401018
gl2: 13 2.315902 2.313811
gl2: 14 2.242638 2.240507
gl2: 15 2.180155 2.177985
gl2: 16 2.126205 2.123999
gl2: 17 2.079127 2.076888
gl2: 18 2.037669 2.035397
gl2: 19 2.000865 1.998561
gl2: 20 1.967961 1.965628
gl2: 21 1.938358 1.935997
gl2: 22 1.911576 1.909188
gl2: 23 1.887223 1.884809
gl2: 24 1.864978 1.862539
gl2: 25 1.844573 1.842111
gl2: 26 1.825787 1.823301
gl2: 27 1.808429 1.805922
gl2: 28 1.792342 1.789813
gl2: 29 1.777387 1.774838
gl2: 30 1.763448 1.760879
gl2: 31 1.750423 1.747835
gl2: 32 1.738223 1.735616
gl2: 33 1.726771 1.724147
gl2: 34 1.715999 1.713358
gl2: 35 1.705848 1.703190
gl2: 36 1.696264 1.693590
gl2: 37 1.687201 1.684511
gl2: 38 1.678617 1.675911
gl2: 39 1.670474 1.667753
gl2: 40 1.662738 1.660003
gl2: 41 1.655379 1.652631
gl2: 42 1.648371 1.645608
gl2: 43 1.641687 1.638912
gl2: 44 1.635306 1.632518
gl2: 45 1.629208 1.626407
gl2: 46 1.623373 1.620560
gl2: 47 1.617785 1.614961
gl2: 48 1.612429 1.609593
gl2: 49 1.607289 1.604442
gl2: 50 1.602354 1.599495
Argumentos
La función curve() incluye como argumentos la función df(), que a su vez requiere de los argumentos x, que es el dominio sobre el cual será calculada la función y que en este caso va de 0 a 12, y df1 y df2 son los grados de libertad del numerador y denominador respectivamente. xlab e ylab permiten modificar las leyendas en los ejes correspondientes. La función abline() permite añadir una capa gráfica a la capa original. El argumento v permite añadir una línea vertical de color especificado mediante el argumento col.
Confiabilidad de las conclusiones
Coeficiente de variación: \(\frac{\sqrt{CMEE}}{\bar X}\)
Coeficiente de determinación: \(R^2\)
Diseños desbalanceados
Supongamos que por algún motivo, se pierde un material experimental.
Comparación
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
trat 4 140.68 35.17 10.065 0.00112 **
filas 4 26.48 6.62 1.894 0.18166
cols 4 27.43 6.86 1.963 0.17005
Residuals 11 38.44 3.49
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
filas 4 26.97 6.74 1.930 0.17551
cols 4 27.29 6.82 1.952 0.17179
trat 4 140.33 35.08 10.040 0.00113 **
Residuals 11 38.44 3.49
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Por defecto, en R (y otros programas) se realiza lo que se conoce como suma de cuadrados ‘Tipo 1’.
Suma de cuadrados “Tipo 3”
Anova Table (Type III tests)
Response: as
Sum Sq Df F value Pr(>F)
(Intercept) 590.93 1 169.1166 5.07e-08 ***
trat 140.33 4 10.0402 0.001133 **
filas 30.60 4 2.1891 0.137256
cols 27.43 4 1.9628 0.170049
Residuals 38.44 11
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Anova Table (Type III tests)
Response: as
Sum Sq Df F value Pr(>F)
(Intercept) 590.93 1 169.1166 5.07e-08 ***
filas 30.60 4 2.1891 0.137256
cols 27.43 4 1.9628 0.170049
trat 140.33 4 10.0402 0.001133 **
Residuals 38.44 11
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Estimación parcela perdida
\(\tiny Parcela \space perdida=x=\frac{r(T+F+C)-2G}{(r-1)(r-2)}\)
datos.comp=datos.des%>%rbind(c("D","1","4",x))
modelo.3=lm(as~trat+filas+cols,datos.comp)
Anova(modelo.3,type=3)Anova Table (Type III tests)
Response: as
Sum Sq Df F value Pr(>F)
(Intercept) 625.02 1 195.1345 8.749e-09 ***
trat 140.43 4 10.9605 0.0005623 ***
filas 33.36 4 2.6034 0.0892036 .
cols 31.78 4 2.4808 0.0999326 .
Residuals 38.44 12
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1W=((G-F-C-(r-1)*T)^2)/(((r-1)^2)*((r-2)^2)) # coeficiente ajuste CMTrat
SCtrat=anova(modelo.3)$`Sum Sq`[1]
SCtrat.aj=SCtrat-W
CMtrat.aj=SCtrat.aj/4
SCEE=anova(modelo.3)$`Sum Sq`[4]
CMEE.aj=SCEE/11
F.calc=CMtrat.aj/CMEE.aj
pf(F.calc,df1=4,df2 = 11,lower.tail = FALSE)[1] 0.001132935Modelos mixtos
library(nlme)
datos.des$id=factor(1) # creamos una variable "dummy"
modelo.mixto=lme(as~trat,
random=list(id=pdBlocked(list(pdIdent(~filas-1),pdIdent(~cols-1)))),
datos.des)
summary(modelo.mixto)Linear mixed-effects model fit by REML
Data: datos.des
AIC BIC logLik
107.1226 114.6781 -45.56129
Random effects:
Composite Structure: Blocked
Block 1: filas1, filas2, filas3, filas4, filas5
Formula: ~filas - 1 | id
Structure: Multiple of an Identity
filas1 filas2 filas3 filas4 filas5
StdDev: 0.8313487 0.8313487 0.8313487 0.8313487 0.8313487
Block 2: cols1, cols2, cols3, cols4, cols5
Formula: ~cols - 1 | id
Structure: Multiple of an Identity
cols1 cols2 cols3 cols4 cols5 Residual
StdDev: 0.7256908 0.7256908 0.7256908 0.7256908 0.7256908 1.919238
Fixed effects: as ~ trat
Value Std.Error DF t-value p-value
(Intercept) 18.296000 0.990075 19 18.479409 0.0000
tratB 6.876000 1.213833 19 5.664702 0.0000
tratC 5.214000 1.213833 19 4.295485 0.0004
tratD 3.790448 1.303089 19 2.908817 0.0090
tratE 2.292000 1.213833 19 1.888234 0.0744
Correlation:
(Intr) tratB tratC tratD
tratB -0.613
tratC -0.613 0.500
tratD -0.571 0.466 0.466
tratE -0.613 0.500 0.500 0.466
Standardized Within-Group Residuals:
Min Q1 Med Q3 Max
-1.327054130 -0.651135955 -0.007937152 0.480081155 1.842173052
Number of Observations: 24
Number of Groups: 1 Resolución con InfoStat
Para importar datos al entorno de InfoStat, seleccionar el menú Archivo>>Nueva tabla. Luego, seleccionar el menú Edición>>Pegar con nombre de columnas.
InfoStat
Revisar que las columnas trat, filas y cols sean de tipo categórica, y la columna as se tipo real. En caso contrario, sobre el nombre de la columna hacer click derecho, y seleccionar Tipo de dato, y luego el tipo de dato que corresponda.
A continuación, Estadísticas>>Análisis de la varianza.En la ventana selectora de variables, enviar la variable as al bloque `variables dependientes`,y a las variables trat, filas y cols al bloque `variables de clasificación`. Luego seleccionar Aceptar.
En la ventana siguiente, en el sector inferior derecho de la pestaña Modelo, marcar todos los tipos de residuos. Los mismos serán empleados para el análisis de los supuestos. Al dar Aceptar, en la tabla de datos se creará una columna por cada tipo de residuo.
Diagnósticos
Ejercicio
Se dejará que el alumno realice las pruebas de los supuestos del modelo necesarias, recordando que en el caso de las pruebas de varianzas homogéneas, éstas deben realizarse sobre tratamientos.
Resultados
Diseños desbalanceados y modelos mixtos en InfoStat
En InfoStat, en caso de diseños desbalanceados se realiza por defecto la suma de cuadrados de Tipo 1 (secuencial). En la ventana de resultados, se informa esta situación. Los diseños cuadrados latinos, al presentar una repetición por cada combinación de factores, es tomada por infostat como un diseño desbalanceado.
Los modelos mixtos se construyen desde Estadísticas>>Modelos lineales generales y mixtos. Dado que es una implementación en R, no se desarrolla en esta guía.
Pruebas de comparaciones de medias (‘post hoc’)
Contenido
Contrastes | Prueba LSD
Prueba Scheffe
Prueba Tukey
Prueba Duncan
Prueba Dunnett
Situación
Por presentar mayor cantidad de tratamientos, vamos a emplear los datos simulados para un DCL en el ensayo de bio-acumulación.
Tipos de pruebas
Las pruebas de comparaciones de medias se pueden clasificar según el momento en que se definan los contrastes en:
Contrastes a priori: test LSD (contrastes ortogonales), test Scheffé (contrastes no ortogonales), test Dunnett, etc.
Contrastes a posteriori: Scheffé, Tukey, Duncan, etc.
Contrastes
Un contraste d es un arreglo algebraico con la forma:
\[ \small d = a_1 \tau_1+a_2 \tau_2+a_3 \tau_3+...+a_n \tau_n \]
Con la condición de que \(\small \sum_ia_i=0\). Ejemplos:
\(\small d_1=\tau_3-\tau_2\)
\(\small d_2=2\tau_1-\tau_2-\tau_3\)
Además, \(d_1\) y \(d_2\) serán ortogonales (independientes) si al sumar los productos de los coeficientes de cada término, da como resultado 0.
\(\small d_1= 0\tau_1-1\tau_2+1\tau_3+0\tau_4\)
\(\small d_2= 2\tau_1-1\tau_2-1\tau_3+0\tau_4\)
Multiplicando los coeficientes de cada término en forma vertical, obtendremos: 0 +1 -1 0, que sumados da 0, con lo cual \(d_1\) y \(d_2\) son ortogonales.
Varianza del contraste
Recordar:
\(\small Var(\mathbf cX)=\mathbf{c^2}Var(X)\).
\(\small Var(X+Y)=Var(X-Y)=Var(X) + Var(Y)\)
Por lo tanto si \(d=\tau_1-\tau_2\), entonces
\[ \small Var(d)=1^2Var(\bar x_1)+1^2Var(\bar x_2)=1^2\frac{S^2_1}{r_1}+1^2\frac{S^2_2}{r_2}=CMEE \left(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}\right) \]
Por ser un supuesto del modelo. Luego:
\[ EE_d=\sqrt{CMEE \left(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}\right)} \]
Prueba LSD | “t” | Fisher
Características
Contrastes “a priori” ortogonales.
\(Máx_{n°contr}=G.l. \space tratamientos\)
No contrastar media mayor con menor, ni las dos mayores con la menor.
\(H_0:d = 0\) ; \(H_1:d\ne 0\)
Es una prueba sensible, no recomendable cuando el número de tratamientos es elevado (“inflación de \(\alpha\)).
Estadístico: \(t_c=\frac{\hat d_i - 0}{EE_d}\)
LSD. Contrastes múltiples.
Planteamos \(\tau -1=4\) contrastes ortogonales:
\(d_1=4.\bar x_1-\bar x_2-\bar x_3-\bar x_4-\bar x_5\)
\(d_2=3.\bar x_2 - \bar x_3- \bar x_4- \bar x_5\)
\(d_3=2.\bar x_3-\bar x_4-\bar x_5\)
\(d_4=\bar x_4-\bar x_5\)
c1=c(4,-1,-1,-1,-1)
c2=c(0,3,-1,-1,-1)
c3=c(0,0,2,-1,-1)
c4=c(0,0,0,1,-1)
sum(c1*c2) # los contrastes 1 y 2 son ortogonales (probar la ortogonalidad entre el resto de los contrastes)[1] 0Analysis of Variance Table
Response: as
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
trat 4 140.106 35.026 6.4657 0.005167 **
filas 4 28.290 7.072 1.3055 0.322633
cols 4 0.970 0.243 0.0448 0.995674
Residuals 12 65.007 5.417
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 trat lsmean SE df lower.CL upper.CL
A 18.3 1.04 12 16.0 20.6
B 25.2 1.04 12 22.9 27.4
C 23.5 1.04 12 21.2 25.8
D 22.0 1.04 12 19.8 24.3
E 20.6 1.04 12 18.3 22.9
Results are averaged over the levels of: filas, cols
Confidence level used: 0.95 contrast estimate SE df t.ratio p.value
c(4, -1, -1, -1, -1) -18.11 4.66 12 -3.890 0.0022
c(0, 3, -1, -1, -1) 9.40 3.61 12 2.606 0.0230
c(0, 0, 2, -1, -1) 4.41 2.55 12 1.730 0.1092
c(0, 0, 0, 1, -1) 1.43 1.47 12 0.973 0.3499
Results are averaged over the levels of: filas, cols Argumentos
La función lsmeans realiza una estimación marginal de las medias de los tratamientos especificados en un modelo. Requiere como argumentos el nombre del modelo ajustado, y el factor o tratamiento (antecedido por el símbolo ‘~’).
La función contrast computa los contrastes especificados para un objeto lsmeans. Requiere como argumentos el objeto lsmeans y una lista con los contrastes establecidos.
La función summary() presenta un resumen de los resultados.
LSD. Contrastes de ‘a pares’.
Study: modelo ~ "trat"
LSD t Test for as
Mean Square Error: 5.417266
trat, means and individual ( 95 %) CI
as std r LCL UCL Min Max
A 18.296 2.905044 5 16.02809 20.56391 15.31 22.17
B 25.172 1.047387 5 22.90409 27.43991 23.85 26.01
C 23.510 2.053521 5 21.24209 25.77791 21.00 25.92
D 22.020 2.739389 5 19.75209 24.28791 19.98 26.83
E 20.588 1.519661 5 18.32009 22.85591 19.02 22.92
Alpha: 0.05 ; DF Error: 12
Critical Value of t: 2.178813
least Significant Difference: 3.207303
Treatments with the same letter are not significantly different.
as groups
B 25.172 a
C 23.510 ab
D 22.020 ab
E 20.588 bc
A 18.296 cPrueba Scheffé.
Características
Contrastes (no ortogonales) “a priori” o “a posteriori”, múltiples o de a pares.
Prueba conservadora (poco sensible).
Estadístico: \(Sch=\sqrt{(n-1).F.EE_d^2}\)
Scheffé. Contraste de a “pares”
Study: modelo ~ "trat"
Scheffe Test for as
Mean Square Error : 5.417266
trat, means
as std r Min Max
A 18.296 2.905044 5 15.31 22.17
B 25.172 1.047387 5 23.85 26.01
C 23.510 2.053521 5 21.00 25.92
D 22.020 2.739389 5 19.98 26.83
E 20.588 1.519661 5 19.02 22.92
Alpha: 0.05 ; DF Error: 12
Critical Value of F: 3.259167
Minimum Significant Difference: 5.315001
Means with the same letter are not significantly different.
as groups
B 25.172 a
C 23.510 ab
D 22.020 ab
E 20.588 ab
A 18.296 bPrueba de Tukey.
Características
Contrastes de a pares “a posteriori”.
Prueba eficiente (ni muy sensible ni muy conservadora).
DMS (\(=\) nro. rep.): \(\Delta=q\sqrt{\frac{CMEE}{r}}\)
DMS (\(\ne\) nro. rep.): \(\Delta=q\sqrt{0,5.EE^2_d}\), donde \(EE^2_d\) es la varianza del contraste y depende si el contraste proviene de un DCA o un DBCA/DCL con parcela perdida.
“q” tiene una distribución de rangos estudentizada.
Tukey. Contraste de a “pares”
Study: modelo ~ "trat"
HSD Test for as
Mean Square Error: 5.417266
trat, means
as std r Min Max
A 18.296 2.905044 5 15.31 22.17
B 25.172 1.047387 5 23.85 26.01
C 23.510 2.053521 5 21.00 25.92
D 22.020 2.739389 5 19.98 26.83
E 20.588 1.519661 5 19.02 22.92
Alpha: 0.05 ; DF Error: 12
Critical Value of Studentized Range: 4.50771
Minimun Significant Difference: 4.692033
Treatments with the same letter are not significantly different.
as groups
B 25.172 a
C 23.510 a
D 22.020 ab
E 20.588 ab
A 18.296 bPrueba de Duncan.
Características
Contrastes de a pares “a posteriori”, considerando el número de medias que “abarca” el contraste cuando son ordenadas en forma ascendente.
Suponiendo n medias ordenadas: \(\bar x_1>\bar x_2>...>\bar x_n\), entonces se dice que el contraste \(d_1=\bar x_1-\bar x_n\) abarca n medias, el contraste \(d_2=\bar x_1-\bar x_4\) abarca 4 medias, etc.
Prueba más sensible que Tukey.
“Inflación de \(\alpha\)”.
DMS (\(=\) nro. rep.): \(D=z\sqrt{\frac{CMEE}{r}}\)
Duncan. Contraste de a “pares”
Study: modelo ~ "trat"
Duncan's new multiple range test
for as
Mean Square Error: 5.417266
trat, means
as std r Min Max
A 18.296 2.905044 5 15.31 22.17
B 25.172 1.047387 5 23.85 26.01
C 23.510 2.053521 5 21.00 25.92
D 22.020 2.739389 5 19.98 26.83
E 20.588 1.519661 5 19.02 22.92
Alpha: 0.05 ; DF Error: 12
Critical Range
2 3 4 5
3.207303 3.357126 3.447901 3.507980
Means with the same letter are not significantly different.
as groups
B 25.172 a
C 23.510 ab
D 22.020 ab
E 20.588 bc
A 18.296 cArgumentos
Las funciones de contrastes de la librería agricolae requieren como argumentos básicos: el modelo, el tratamiento(trt, con comillas) y eventualmente especificar si son datos desbalanceados o no. El argumento “console=TRUE” permite observar la salida en la consola.
Prueba Dunnett.
Características
Prueba a priori.
Compara un control con cualquier cantidad de tratamientos de a pares.
Estadístico: \(t_i=\frac{\hat d_i}{EE_d}\)
Prueba uni o bilateral
Dunnett. Contrastes de a ‘pares’.
trat emmean SE df lower.CL upper.CL
A 18.3 1.04 12 16.0 20.6
B 25.2 1.04 12 22.9 27.4
C 23.5 1.04 12 21.2 25.8
D 22.0 1.04 12 19.8 24.3
E 20.6 1.04 12 18.3 22.9
Results are averaged over the levels of: filas, cols
Confidence level used: 0.95 # Supongamos que el tratamiento "A" es el testigo
# Contrastes
d1=(25.2-18.3)
d2=(23.5-18.3)
d3=(22-18.3)
d4=(20.6-18.3)
CMEE=anava$`Mean Sq`[4];CMEE[1] 5.417266[1] 4.687368 3.532509 2.513516 1.562456
contrast estimate SE df t.ratio p.value
B - A 6.88 1.47 12 4.671 0.0019
C - A 5.21 1.47 12 3.542 0.0140
D - A 3.72 1.47 12 2.530 0.0845
E - A 2.29 1.47 12 1.557 0.3823
Results are averaged over the levels of: filas, cols
P value adjustment: dunnettx method for 4 tests
Simultaneous Tests for General Linear Hypotheses
Multiple Comparisons of Means: Dunnett Contrasts
Fit: lm(formula = as ~ trat + filas + cols, data = datos)
Linear Hypotheses:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
B - A == 0 6.876 1.472 4.671 0.00193 **
C - A == 0 5.214 1.472 3.542 0.01335 *
D - A == 0 3.724 1.472 2.530 0.08113 .
E - A == 0 2.292 1.472 1.557 0.37743
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
(Adjusted p values reported -- single-step method)Resolución con InfoStat
Cargar los datos del mismo modo en que se vino realizando. Luego seleccionar el menú Estadísticas>>Análisis de la varianza, e ingresar la variable as en el bloque de variables dependientes, y las variables trat, filas y cols en el bloque de variables de clasificación (a fin de simplificar el desarrollo, se omitirá en esta instancia la prueba de los supuestos del modelo).
En la siguiente ventana, podremos especificar las pruebas post hoc en la pestaña Comparaciones o bien los contrastes en la pestaña Contrastes.
Comparaciones
InfoStat permite seleccionar una de 10 (diez) pruebas de comparaciones de medias: LSD, DGC, Jolife, Bonferroni, Tukey, Dunkan, SNK, BSS, Scott Knott y Scheffé. Además, es posible especificar el formato de presentación, el nivel de significación y si se desea el error de la prueba y el gráfico de barras con las medias de cada tratamiento.
Recordar que las pruebas seleccionadas deben ser planteadas únicamente para los tratamientos.
El resultado de las pruebas de comparaciones de medias es mostrada en la ventana de resultados a continuación de la tabla de ANAVA.
Contrastes
En la pestaña Contrastes de la ventana de Análisis de la varianza, en la lista desplegable Escoger efectos seleccionar la variable trat. En el bloque de Tratamientos aparecerán ordenados los tratamientos que emplearemos en los contrastes. A continuación, en el bloque Matriz de contrastes se deben ingresar los coeficientes de los contrastes incluyendo sus signos y respetando el orden de los tratamientos. Los coeficientes deben estar separados por un espacio. Luego, Aceptar.
Los resultados de los contrastes aparecerán en la ventana de Resultados, a continuación de la tabla de ANAVA.
Bibliografía
BALZARINI, M. et al. 2011. Estadística y Biometría. Editorial Brujas.
DI RIENZO, J; CASANOVES, F. GONZALEZ, L.; TABLADA, E; DIAZ, M.; ROBLEDO, C. y BALZARINI, M. 2001. Estadística para las Ciencias Agropecuarias. 4ta. Ed. Triunfar. Córdoba. Argentina.
GARIBALDI, L. et al. Modelos estadísticos en lenguaje R. Editorial UNRN.
LAWSON, J. Design and Analysis of Experiments with R. CHAPMAN & HALL/CRC.
QUINTEROS, H. O. Diseño Experimental. Facultad de Ciencias Agrarias. Universidad Nacional de Jujuy. Argentina.
TRIOLA, M. 2009. Estadística. Décima Edición. PEARSON EDUCACIÓN, México.
Manual de InfoStat.
Bioestadística y Diseño Experimental. FCA UNJu. 2022.