Diseño Experimental. Parte 1.

Guía práctica de clase. Año 2022.

Facultad de Ciencias Agrarias | UNJu
Ing. Juan Manuel Solís

 

 

 

 

Cátedra de Bioestadística y Diseño Experimental. Año 2022.

  • Ing. Agr. Jorge Quiquinto, prof. asociado, dedicación exclusiva

  • Ing. Agr. Marta Leaño, prof. adjunta, dedicación exclusiva

  • Ing. Agr. Juan Manuel Solís, Jefe de Trabajos Prácticos, dedicación exclusiva

  • Ing. Agr. Ivone Humacata, Jefe de Trabajos Prácticos, dedicación exclusiva

  • Srta. Sofía Carrasco, Ayudante de 2da, dedicación simple

  • Srta. Victoria López, Ayudante de 2da, dedicación simple

DCA

Contenido

  • Aleatorización

  • ANAVA a una vía: Modelo matemático

  • Supuestos del modelo

  • Hipótesis | decisión y conclusión

Situación

En un estudio de fitorremediación se desea evaluar la capacidad bioacumuladora de As en tejidos de hoja de 3 especies hortícolas: Brassica oleracea (A), Lactuca sativa (B) y Raphanus sativa (C). Para ello se cultivan 10 individuos de cada especie en macetas con riego a c.c. con agua proveniente de la localidad de Susques, que se sabe presenta altas concentraciones de As. A continuación, se determina la [As] en ppm en tejidos foliares. ¿Existen diferencias entre especies en su capacidad bioacumuladora de As?

A priori

Es muy importante definir claramente la variable respuesta, los tratamientos (o niveles del factor analizado) y las unidades experimentales.

Definir el tamaño muestral adecuado

Aleatorización de las u.e.

Aleatorización

En este caso la aleatorización debe ser completa. Se debe asegurar que las u.e. tengan la misma probabilidad de ser asignadas a tratamiento. Son de gran utilidad las funciones de aleatorización que proveen los softwares actuales, aunque también es posible emplear tablas, bolilleros, urnas, etc.

Definiciones

  • Variable respuesta: concentración de As en ppm en hojas de lechuga, repollo y rabanito sometidas a riego con agua de Susques.

  • Tratamientos: cada una de las especies: Brassica oleracea (A), Lactuca sativa (B) y Raphanus sativa (C), analizadas.

  • U.E.: cada una de las plantas de lechuga, repollo y rabanito en macetas, sobre cuyas hojas se determinará la concentración de As.

Aleatorización

A=paste0("A",1:10)
B=paste0("B",1:10)
C=paste0("C",1:10)
dca=sample(c(A,B,C));
matrix((dca),ncol=5)
     [,1] [,2]  [,3] [,4] [,5] 
[1,] "A9" "A3"  "C8" "A7" "A10"
[2,] "B3" "C7"  "B2" "B7" "C1" 
[3,] "B9" "A2"  "B1" "A4" "A6" 
[4,] "C9" "C10" "B8" "A5" "B6" 
[5,] "A1" "B10" "C4" "A8" "C3" 
[6,] "C2" "B4"  "B5" "C6" "C5" 

A continuación, se realiza una selección aleatoria de 10 plantas de cada especie y se asigna según la disposición obtenida.

Datos

#datos=read.table("clipboard",header=TRUE)
boxplot(as~trat,datos)

Argumentos

  • La función read.table() incluye los argumentos clipboard para indicar que los datos serán leídos desde el portapapeles y header para indicarle que la primera fila incluye los nombres de los campos.

  • La función boxplot() se construye empleando el símbolo “~” (virgulilla), que se interpreta “en función de” o “como respuesta a”. Además se debe indicar el objeto que contiene las variables incluidas.

Modelo matemático

 

\[ \Large y_{ij} = \mu + \tau_i + \epsilon_{ij} \]

 

\(\forall \space i=1,2,3; \space j=1,2,...,10\)

\(\epsilon \sim N(0,\sigma^2)\)

Pregunta

El modelo matemático de un DCA, ¿es aplicable a estudios observacionales ?

Construcción del modelo

modelo=lm(as~trat,datos)

Argumentos

  • La función lm() se construye empleando el símbolo “~” (virgulilla), que se interpreta “en función de” o “como respuesta a”. Además se debe indicar el objeto que contiene las variables incluidas.

Diagnóstico del modelo

Normalidad de residuos: qq-plot

plot(modelo,which = 2)

Normalidad de residuos: prueba Shapiro-Wilk

shapiro.test(resid(modelo))

    Shapiro-Wilk normality test

data:  resid(modelo)
W = 0.95964, p-value = 0.3032

Hipótesis nula de la prueba

La hipótesis nula de la prueba de Shapiro-Wilk es que la distribución de la serie de datos se distribuye aproximadamente como una normal.

Homocedasticidad | independencia: residuos estandarizados

plot(modelo,which=5)

Homocedasticidad: prueba de Bartlett

bartlett.test(resid(modelo),trat,datos)

    Bartlett test of homogeneity of variances

data:  resid(modelo) and trat
Bartlett's K-squared = 1.9784, df = 2, p-value = 0.3719

Hipótesis nula de la prueba

La hipótesis nula de la prueba de Bartlett es que existe homogeneidad de varianzas entre grupos.

Homocedasticidad: prueba de Levene

#install.packages("car")
library(car)
leveneTest(resid(modelo),datos$trat,center = mean)
Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = mean)
      Df F value Pr(>F)
group  2  0.5131 0.6043
      27               

Hipótesis nula de la prueba

La hipótesis nula de la prueba de Levene es que existe homogeneidad de varianzas entre grupos.

Importante

Avanzaremos en el análisis de la varianza únicamente en el caso de que se cumplan todos los supuestos del modelo. En caso contrario, se deben buscar alternativas, como ser los métodos no paramétricos o de distribución libre.

Análisis de la varianza a una vía

 

\[ \sum_{ijk} (x_{ijk} - \bar{X})^2 = \sum_{ij} (x_{ij} - \hat x_i)^2 + \sum_{ij}(\hat x_i - \bar{X})^2 \]

\[ \Large SCT = SCEE + SCTrat \]

Hipótesis

  • \(H_0: \space \mu_1=\mu_2=\mu_3\)

  • \(H_1:\) Al menos una de las medias es diferente.

  • \(\alpha: 0,05\)

  • \(F_{calc}=\frac{CMTrat}{CMEE}\sim F(\nu_1,\nu_2)\)

  • Regla de decisión: se rechaza \(H_0 \iff p.valor<\alpha\)

Decisión y conclusión

anava=aov(modelo)
resumen.anava=summary(anava); resumen.anava
            Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
trat         2 293.58  146.79   42.78 4.26e-09 ***
Residuals   27  92.64    3.43                     
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

 

Decisión y conclusión: Se rechaza \(H_0\). Hay evidencia para afirmar que al menos una de las especies tiene capacidad bioacumuladora de As diferente al resto.

Tabla “F” de Snedecor para \(\alpha=0.05\)

            gl1: 1     gl1: 2     gl1: 3     gl1: 4     gl1: 5     gl1: 6
gl2: 1  161.447639 199.500000 215.707345 224.583241 230.161878 233.986000
gl2: 2   18.512821  19.000000  19.164292  19.246794  19.296410  19.329534
gl2: 3   10.127964   9.552094   9.276628   9.117182   9.013455   8.940645
gl2: 4    7.708647   6.944272   6.591382   6.388233   6.256057   6.163132
gl2: 5    6.607891   5.786135   5.409451   5.192168   5.050329   4.950288
gl2: 6    5.987378   5.143253   4.757063   4.533677   4.387374   4.283866
gl2: 7    5.591448   4.737414   4.346831   4.120312   3.971523   3.865969
gl2: 8    5.317655   4.458970   4.066181   3.837853   3.687499   3.580580
gl2: 9    5.117355   4.256495   3.862548   3.633089   3.481659   3.373754
gl2: 10   4.964603   4.102821   3.708265   3.478050   3.325835   3.217175
gl2: 11   4.844336   3.982298   3.587434   3.356690   3.203874   3.094613
gl2: 12   4.747225   3.885294   3.490295   3.259167   3.105875   2.996120
gl2: 13   4.667193   3.805565   3.410534   3.179117   3.025438   2.915269
gl2: 14   4.600110   3.738892   3.343889   3.112250   2.958249   2.847726
gl2: 15   4.543077   3.682320   3.287382   3.055568   2.901295   2.790465
gl2: 16   4.493998   3.633723   3.238872   3.006917   2.852409   2.741311
gl2: 17   4.451322   3.591531   3.196777   2.964708   2.809996   2.698660
gl2: 18   4.413873   3.554557   3.159908   2.927744   2.772853   2.661305
gl2: 19   4.380750   3.521893   3.127350   2.895107   2.740058   2.628318
gl2: 20   4.351244   3.492828   3.098391   2.866081   2.710890   2.598978
gl2: 21   4.324794   3.466800   3.072467   2.840100   2.684781   2.572712
gl2: 22   4.300950   3.443357   3.049125   2.816708   2.661274   2.549061
gl2: 23   4.279344   3.422132   3.027998   2.795539   2.639999   2.527655
gl2: 24   4.259677   3.402826   3.008787   2.776289   2.620654   2.508189
gl2: 25   4.241699   3.385190   2.991241   2.758710   2.602987   2.490410
gl2: 26   4.225201   3.369016   2.975154   2.742594   2.586790   2.474109
gl2: 27   4.210008   3.354131   2.960351   2.727765   2.571886   2.459108
gl2: 28   4.195972   3.340386   2.946685   2.714076   2.558128   2.445259
gl2: 29   4.182964   3.327654   2.934030   2.701399   2.545386   2.432434
gl2: 30   4.170877   3.315830   2.922277   2.689628   2.533555   2.420523
gl2: 31   4.159615   3.304817   2.911334   2.678667   2.522538   2.409432
gl2: 32   4.149097   3.294537   2.901120   2.668437   2.512255   2.399080
gl2: 33   4.139252   3.284918   2.891564   2.658867   2.502635   2.389394
gl2: 34   4.130018   3.275898   2.882604   2.649894   2.493616   2.380313
gl2: 35   4.121338   3.267424   2.874187   2.641465   2.485143   2.371781
gl2: 36   4.113165   3.259446   2.866266   2.633532   2.477169   2.363751
gl2: 37   4.105456   3.251924   2.858796   2.626052   2.469650   2.356179
gl2: 38   4.098172   3.244818   2.851741   2.618988   2.462548   2.349027
gl2: 39   4.091279   3.238096   2.845068   2.612306   2.455831   2.342262
gl2: 40   4.084746   3.231727   2.838745   2.605975   2.449466   2.335852
gl2: 41   4.078546   3.225684   2.832747   2.599969   2.443429   2.329771
gl2: 42   4.072654   3.219942   2.827049   2.594263   2.437693   2.323994
gl2: 43   4.067047   3.214480   2.821628   2.588836   2.432236   2.318498
gl2: 44   4.061706   3.209278   2.816466   2.583667   2.427040   2.313264
gl2: 45   4.056612   3.204317   2.811544   2.578739   2.422085   2.308273
gl2: 46   4.051749   3.199582   2.806845   2.574035   2.417356   2.303509
gl2: 47   4.047100   3.195056   2.802355   2.569540   2.412837   2.298956
gl2: 48   4.042652   3.190727   2.798061   2.565241   2.408514   2.294601
gl2: 49   4.038393   3.186582   2.793949   2.561124   2.404375   2.290432
gl2: 50   4.034310   3.182610   2.790008   2.557179   2.400409   2.286436
            gl1: 7     gl1: 8     gl1: 9    gl1: 10    gl1: 11    gl1: 12
gl2: 1  236.768400 238.882695 240.543255 241.881747 242.983458 243.906038
gl2: 2   19.353218  19.370993  19.384826  19.395897  19.404958  19.412511
gl2: 3    8.886743   8.845238   8.812300   8.785525   8.763333   8.744641
gl2: 4    6.094211   6.041044   5.998779   5.964371   5.935813   5.911729
gl2: 5    4.875872   4.818320   4.772466   4.735063   4.703967   4.677704
gl2: 6    4.206658   4.146804   4.099016   4.059963   4.027442   3.999935
gl2: 7    3.787044   3.725725   3.676675   3.636523   3.603037   3.574676
gl2: 8    3.500464   3.438101   3.388130   3.347163   3.312951   3.283939
gl2: 9    3.292746   3.229583   3.178893   3.137280   3.102485   3.072947
gl2: 10   3.135465   3.071658   3.020383   2.978237   2.942957   2.912977
gl2: 11   3.012330   2.947990   2.896223   2.853625   2.817930   2.787569
gl2: 12   2.913358   2.848565   2.796375   2.753387   2.717331   2.686637
gl2: 13   2.832098   2.766913   2.714356   2.671024   2.634650   2.603661
gl2: 14   2.764199   2.698672   2.645791   2.602155   2.565497   2.534243
gl2: 15   2.706627   2.640797   2.587626   2.543719   2.506806   2.475313
gl2: 16   2.657197   2.591096   2.537667   2.493513   2.456369   2.424660
gl2: 17   2.614299   2.547955   2.494291   2.449916   2.412561   2.380654
gl2: 18   2.576722   2.510158   2.456281   2.411702   2.374156   2.342067
gl2: 19   2.543534   2.476770   2.422699   2.377934   2.340210   2.307954
gl2: 20   2.514011   2.447064   2.392814   2.347878   2.309991   2.277581
gl2: 21   2.487578   2.420462   2.366048   2.320953   2.282916   2.250362
gl2: 22   2.463774   2.396503   2.341937   2.296696   2.258518   2.225831
gl2: 23   2.442226   2.374812   2.320105   2.274728   2.236419   2.203607
gl2: 24   2.422629   2.355081   2.300244   2.254739   2.216309   2.183380
gl2: 25   2.404728   2.337057   2.282097   2.236474   2.197929   2.164891
gl2: 26   2.388314   2.320527   2.265453   2.219718   2.181067   2.147926
gl2: 27   2.373208   2.305313   2.250131   2.204292   2.165540   2.132303
gl2: 28   2.359260   2.291264   2.235982   2.190044   2.151197   2.117869
gl2: 29   2.346342   2.278251   2.222874   2.176844   2.137908   2.104493
gl2: 30   2.334344   2.266163   2.210697   2.164580   2.125559   2.092063
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gl2: 47   1.637166   1.633610   1.630196   1.626913   1.623755   1.620715
gl2: 48   1.631885   1.628316   1.624888   1.621593   1.618423   1.615370
gl2: 49   1.626819   1.623237   1.619797   1.616489   1.613307   1.610242
gl2: 50   1.621955   1.618361   1.614908   1.611588   1.608394   1.605318
           gl1: 49    gl1: 50
gl2: 1  251.722586 251.774158
gl2: 2   19.475325  19.475733
gl2: 3    8.582095   8.580996
gl2: 4    5.700926   5.699492
gl2: 5    4.445995   4.444406
gl2: 6    3.755359   3.753668
gl2: 7    3.320627   3.318856
gl2: 8    3.022236   3.020398
gl2: 9    2.804741   2.802843
gl2: 10   2.639076   2.637124
gl2: 11   2.508589   2.506587
gl2: 12   2.403066   2.401018
gl2: 13   2.315902   2.313811
gl2: 14   2.242638   2.240507
gl2: 15   2.180155   2.177985
gl2: 16   2.126205   2.123999
gl2: 17   2.079127   2.076888
gl2: 18   2.037669   2.035397
gl2: 19   2.000865   1.998561
gl2: 20   1.967961   1.965628
gl2: 21   1.938358   1.935997
gl2: 22   1.911576   1.909188
gl2: 23   1.887223   1.884809
gl2: 24   1.864978   1.862539
gl2: 25   1.844573   1.842111
gl2: 26   1.825787   1.823301
gl2: 27   1.808429   1.805922
gl2: 28   1.792342   1.789813
gl2: 29   1.777387   1.774838
gl2: 30   1.763448   1.760879
gl2: 31   1.750423   1.747835
gl2: 32   1.738223   1.735616
gl2: 33   1.726771   1.724147
gl2: 34   1.715999   1.713358
gl2: 35   1.705848   1.703190
gl2: 36   1.696264   1.693590
gl2: 37   1.687201   1.684511
gl2: 38   1.678617   1.675911
gl2: 39   1.670474   1.667753
gl2: 40   1.662738   1.660003
gl2: 41   1.655379   1.652631
gl2: 42   1.648371   1.645608
gl2: 43   1.641687   1.638912
gl2: 44   1.635306   1.632518
gl2: 45   1.629208   1.626407
gl2: 46   1.623373   1.620560
gl2: 47   1.617785   1.614961
gl2: 48   1.612429   1.609593
gl2: 49   1.607289   1.604442
gl2: 50   1.602354   1.599495

curve(df(x, df1=2, df2=27), from=0, to=45,
      xlab="F",ylab = "f(x)")
abline(v=42.78, col="darkcyan")

Argumentos

La función curve() incluye como argumentos la función df(), que a su vez requiere de los argumentos x, que es el dominio sobre el cual será calculada la función y que en este caso va de 0 a 45, y df1 y df2 son los grados de libertad del numerador y denominador respectivamente. xlab e ylab permiten modificar las leyendas en los ejes correspondientes. La función abline() permite añadir una capa gráfica a la capa original. El argumento v permite añadir una línea vertical de color especificado mediante el argumento col.

Confiabilidad de las conclusiones

  • Coeficiente de variación: \(\frac{\sqrt{CMEE}}{\bar X}\)

  • Coeficiente de determinación: \(R^2\)

(sqrt(3.43))/mean(datos$as)*100
[1] 7.912048
resumen.modelo=summary(modelo)
resumen.modelo$r.squared
[1] 0.7601421

Resolución con InfoStat

Para importar datos al entorno de InfoStat, seleccionar el menú Archivo>>Nueva tabla. Luego, seleccionar el menú Edición>>Pegar con nombre de columnas.

InfoStat

Revisar que la columna trat sea de tipo categórica, y la columna as se tipo real. En caso contrario, sobre el nombre de la columna hacer click derecho, y seleccionar Tipo de dato, y luego el tipo de dato que corresponda.

A continuación, Estadísticas>>Análisis de la varianza.En la ventana selectora de variables, enviar la variable as al bloque `variables dependientes`,y a la variable trat al bloque `variables de clasificación`. Luego seleccionar Aceptar.

En la ventana siguiente, en el sector inferior derecho de la pestaña Modelo, marcar todos los tipos de residuos. Los mismos serán empleados para el análisis de los supuestos. Al dar Aceptar, en la tabla de datos se creará una columna por cada tipo de residuo.

Diagnósticos

Normalidad de residuos: qq-plot

Seleccionar el menú Gráficos>>Q-qplot. En el selector de variables, incluir la variable RDUO as dentro del bloque de Variables. Seleccionar Aceptar dos veces.

Normalidad de residuos: prueba Shapiro-Wilk

Seleccionar el menú Estadísticas>>Inferencia basada en una muestra>>Prueba de Normalidad (Shapiro-Wilks modificado). En el selector de variables, ingresar la variable RDUO as en el bloque de Variables. Seleccionar Aceptar.

Homocedasticidad: residuos vs predichos

Seleccionar el menú Gráficos>>Diagrama de dispersión. En el selector de variables, incluir la variable RE as (residuos estudentizados) en el eje Y, y la variable PRED as en el eje X. Luego, Aceptar.

Homocedasticidad: prueba de Levene

Consiste en realizar una análisis de la varianza de los residuos absolutos por grupo. Seleccionar el menú Estadísticas>>Análisis de la varianza. En el selector de variables, ingresar la variable RABS as en el bloque de Variables dependientes, y la variable trat en el bloque Variables de clasificación. Luego, Aceptar dos veces.

Interpretación

Una vez verificados los supuestos del modelo, volvemos a la primera ventana de resultados para realizar la interpretación de los resultados.

DBCA

Contenido

  • Aleatorización

  • ANAVA a dos vías: Modelo matemático

  • Supuestos del modelo

  • Hipótesis | decisión y conclusión

  • Diseños desbalanceados

Situación

Considere el mismo estudio de fitorremediación visto en el primer tema. Por una cuestión de simplicidad, se considerarán 5 (cinco) réplicas de cada especie (A, B y C). Suponga que por las características del espacio físico en el cual se dispondrán las macetas, algunas estarán más próximas al acceso del invernáculo (con mayor luminosidad, aireación, etc.) y otras estarán más alejadas del mismo. En este caso, puede ser conveniente realizar un control local según la posición relativa de las macetas al acceso del invernáculo. Nuevamente se desea probar si existen diferencias entre especies en su capacidad bioacumuladora de As.

Definiciones

Definir v.a. respuesta, tratamientos, bloques y U.E.

  • Variable respuesta: concentración de As en ppm en hojas de lechuga, repollo y rabanito sometidas a riego con agua de Susques.

  • Tratamientos: cada una de las especies: Brassica oleracea (A), Lactuca sativa (B) y Raphanus sativa (C), analizadas.

  • Bloques: Cada uno de los 5 niveles de distancia relativa de las macetas respecto del acceso al invernáculo.

  • U.E.: cada una de las plantas de lechuga, repollo y rabanito en macetas, sobre cuyas hojas se determinará la concentración de As.

Aleatorización

En este caso, se realiza una aleatorización completa en dos etapas:

  • Aleatorización de los tratamientos dentro de cada bloque
  • Aleatorización de los bloques en el espacio.
library(dplyr)
I=sample(c("A1","B1","C1"))
II=sample(c("A2","B2","C2"))
III=sample(c("A3","B3","C3"))
IV=sample(c("A4","B4","C4"))
V=sample(c("A5","B5","C5"))
rbind(I,II,III,IV,V)%>%as.data.frame()%>%sample_n(5)
    V1 V2 V3
III A3 C3 B3
I   B1 C1 A1
V   C5 B5 A5
II  B2 A2 C2
IV  B4 A4 C4

Datos

#datos=read.table("clipboard",header=TRUE)
library(ggplot2)
datos%>%
  ggplot(aes(x=trat,y=as))+ # definición de los ejes
  geom_jitter(aes(color=bl),size=2.5,width = 0.1)+ # capa de jitter
  geom_boxplot(alpha=0.5) # capa de gráfico de cajas

Argumentos

La función ggplot() permite construir gráficos añadiendo “capas” de información. El símbolo %>% (llamado “pipa”, incluido en la librería dplyr) permite concatenar funciones. En este caso se empleó para indicar que realizaremos un gráfico sobre el objeto datos. Una vez que comenzamos a realizar el gráfico por medio de la función ggplot(), cada capa de información se añade utilizando el símbolo +.

Los ejes se especifican a través de las aesthetics (aes), en la cual se especifica qué variable estará representada en el eje de las x y qué variable lo estará en el eje de las y.

La capa geometría de jitter permite representar puntos evitando su solapamiento. Entre los argumentos que es posible especificar se encuentrar la “estética” (aes) de color en función del bloque, size o tamaño del punto, y width o ancho de la dispersión de los puntos.

La capa geometría boxplot se añade por encima de las anteriores, y es posible modificar su transparencia por medio del argumento alpha.

Modelo matemático

 

\[ \Large y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j+\epsilon_{ij} \]

 

\(\forall \space i=1,2,3; \space j=1,2,...,5\)

\(\epsilon \sim N(0,\sigma^2)\)

 

Construcción del modelo

modelo=lm(as~trat+bl,datos)

Argumentos

  • El factor bloque es incluido en el modelo al solo efecto de realizar un control local. Por este motivo, no se debe especificar efectos de interacción tratamiento : bloque en los términos del modelo.

Diagnóstico del modelo

Normalidad de residuos: qq-plot

plot(modelo,which = 2)

Normalidad de residuos: prueba Shapiro-Wilk

shapiro.test(resid(modelo))

    Shapiro-Wilk normality test

data:  resid(modelo)
W = 0.94573, p-value = 0.4599

Hipótesis nula de la prueba

La hipótesis nula de la prueba de Shapiro-Wilk es que la distribución de la serie de datos se distribuye aproximadamente como una normal.

Homocedasticidad | independencia: residuos estandarizados

plot(modelo,which=5)

Homocedasticidad: prueba de Bartlett

bartlett.test(resid(modelo),trat,datos)

    Bartlett test of homogeneity of variances

data:  resid(modelo) and trat
Bartlett's K-squared = 0.55187, df = 2, p-value = 0.7589

Hipótesis nula de la prueba

La hipótesis nula de la prueba de Bartlett es que existe homogeneidad de varianzas entre grupos.

Homocedasticidad: prueba de Levene

#install.packages("car")
library(car)
leveneTest(resid(modelo),datos$trat,center = mean)
Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = mean)
      Df F value Pr(>F)
group  2  0.8572 0.4488
      12               

Hipótesis nula de la prueba

La hipótesis nula de la prueba de Levene es que existe homogeneidad de varianzas entre grupos.

Importante

Avanzaremos en el análisis de la varianza únicamente en el caso de que se cumplan todos los supuestos del modelo. En caso contrario, se deben buscar alternativas, como ser los métodos no paramétricos o de distribución libre.

Análisis de la varianza a dos vías

 

\[ \small \sum_{ij} (x_{ij} - \bar{X})^2 = \sum_{ij} (x_{ij} - \hat x_i- \hat x_j + \bar X)^2 + \sum_{ij}(\hat x_i - \bar{X})^2 + \sum_{ij}(\hat x_j - \bar{X})^2 \]

\[ \Large SCT = SCEE + SCTrat + SCBl \]

Hipótesis (tratamientos)

  • \(H_0: \space \mu_1=\mu_2=\mu_3\)
  • \(H_1:\) Al menos una de las medias es diferente.
  • \(\alpha: 0,05\)
  • \(F_{calc}=\frac{CMTrat}{CMEE}\sim F(\nu_1,\nu_2)\)
  • Regla de decisión: se rechaza \(H_0 \iff p.valor<\alpha\)

Pregunta

¿Cuáles son las hipótesis para bloques?

Decisión y conclusión

anava=aov(modelo)
resumen.anava=summary(anava); resumen.anava
            Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)   
trat         2 128.71   64.36  13.932 0.00248 **
bl           4  26.50    6.63   1.434 0.30714   
Residuals    8  36.95    4.62                   
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Decisión y conclusión: Se rechaza \(H_0\). Hay evidencia para afirmar que al menos una de las especies tiene capacidad bioacumuladora de As diferente al resto.

Pregunta

¿Qué decisión | conclusión corresponde a los bloques?

Tabla “F” de Snedecor para \(\alpha=0.05\)

            gl1: 1     gl1: 2     gl1: 3     gl1: 4     gl1: 5     gl1: 6
gl2: 1  161.447639 199.500000 215.707345 224.583241 230.161878 233.986000
gl2: 2   18.512821  19.000000  19.164292  19.246794  19.296410  19.329534
gl2: 3   10.127964   9.552094   9.276628   9.117182   9.013455   8.940645
gl2: 4    7.708647   6.944272   6.591382   6.388233   6.256057   6.163132
gl2: 5    6.607891   5.786135   5.409451   5.192168   5.050329   4.950288
gl2: 6    5.987378   5.143253   4.757063   4.533677   4.387374   4.283866
gl2: 7    5.591448   4.737414   4.346831   4.120312   3.971523   3.865969
gl2: 8    5.317655   4.458970   4.066181   3.837853   3.687499   3.580580
gl2: 9    5.117355   4.256495   3.862548   3.633089   3.481659   3.373754
gl2: 10   4.964603   4.102821   3.708265   3.478050   3.325835   3.217175
gl2: 11   4.844336   3.982298   3.587434   3.356690   3.203874   3.094613
gl2: 12   4.747225   3.885294   3.490295   3.259167   3.105875   2.996120
gl2: 13   4.667193   3.805565   3.410534   3.179117   3.025438   2.915269
gl2: 14   4.600110   3.738892   3.343889   3.112250   2.958249   2.847726
gl2: 15   4.543077   3.682320   3.287382   3.055568   2.901295   2.790465
gl2: 16   4.493998   3.633723   3.238872   3.006917   2.852409   2.741311
gl2: 17   4.451322   3.591531   3.196777   2.964708   2.809996   2.698660
gl2: 18   4.413873   3.554557   3.159908   2.927744   2.772853   2.661305
gl2: 19   4.380750   3.521893   3.127350   2.895107   2.740058   2.628318
gl2: 20   4.351244   3.492828   3.098391   2.866081   2.710890   2.598978
gl2: 21   4.324794   3.466800   3.072467   2.840100   2.684781   2.572712
gl2: 22   4.300950   3.443357   3.049125   2.816708   2.661274   2.549061
gl2: 23   4.279344   3.422132   3.027998   2.795539   2.639999   2.527655
gl2: 24   4.259677   3.402826   3.008787   2.776289   2.620654   2.508189
gl2: 25   4.241699   3.385190   2.991241   2.758710   2.602987   2.490410
gl2: 26   4.225201   3.369016   2.975154   2.742594   2.586790   2.474109
gl2: 27   4.210008   3.354131   2.960351   2.727765   2.571886   2.459108
gl2: 28   4.195972   3.340386   2.946685   2.714076   2.558128   2.445259
gl2: 29   4.182964   3.327654   2.934030   2.701399   2.545386   2.432434
gl2: 30   4.170877   3.315830   2.922277   2.689628   2.533555   2.420523
gl2: 31   4.159615   3.304817   2.911334   2.678667   2.522538   2.409432
gl2: 32   4.149097   3.294537   2.901120   2.668437   2.512255   2.399080
gl2: 33   4.139252   3.284918   2.891564   2.658867   2.502635   2.389394
gl2: 34   4.130018   3.275898   2.882604   2.649894   2.493616   2.380313
gl2: 35   4.121338   3.267424   2.874187   2.641465   2.485143   2.371781
gl2: 36   4.113165   3.259446   2.866266   2.633532   2.477169   2.363751
gl2: 37   4.105456   3.251924   2.858796   2.626052   2.469650   2.356179
gl2: 38   4.098172   3.244818   2.851741   2.618988   2.462548   2.349027
gl2: 39   4.091279   3.238096   2.845068   2.612306   2.455831   2.342262
gl2: 40   4.084746   3.231727   2.838745   2.605975   2.449466   2.335852
gl2: 41   4.078546   3.225684   2.832747   2.599969   2.443429   2.329771
gl2: 42   4.072654   3.219942   2.827049   2.594263   2.437693   2.323994
gl2: 43   4.067047   3.214480   2.821628   2.588836   2.432236   2.318498
gl2: 44   4.061706   3.209278   2.816466   2.583667   2.427040   2.313264
gl2: 45   4.056612   3.204317   2.811544   2.578739   2.422085   2.308273
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gl2: 13   2.330390   2.327714   2.325152   2.322695   2.320339   2.318076
gl2: 14   2.257400   2.254674   2.252064   2.249561   2.247160   2.244854
gl2: 15   2.195175   2.192402   2.189746   2.187200   2.184757   2.182410
gl2: 16   2.141468   2.138651   2.135953   2.133365   2.130882   2.128497
gl2: 17   2.094620   2.091762   2.089024   2.086397   2.083877   2.081455
gl2: 18   2.053380   2.050483   2.047706   2.045043   2.042486   2.040030
gl2: 19   2.016784   2.013849   2.011036   2.008337   2.005747   2.003258
gl2: 20   1.984078   1.981107   1.978259   1.975528   1.972905   1.970384
gl2: 21   1.954665   1.951660   1.948779   1.946015   1.943361   1.940811
gl2: 22   1.928064   1.925026   1.922113   1.919319   1.916636   1.914057
gl2: 23   1.903884   1.900815   1.897872   1.895049   1.892337   1.889731
gl2: 24   1.881804   1.878705   1.875734   1.872882   1.870144   1.867511
gl2: 25   1.861559   1.858431   1.855432   1.852554   1.849789   1.847131
gl2: 26   1.842925   1.839770   1.836744   1.833840   1.831050   1.828368
gl2: 27   1.825714   1.822533   1.819482   1.816553   1.813739   1.811033
gl2: 28   1.809768   1.806562   1.803486   1.800533   1.797696   1.794967
gl2: 29   1.794950   1.791719   1.788619   1.785643   1.782784   1.780034
gl2: 30   1.781142   1.777887   1.774765   1.771767   1.768886   1.766115
gl2: 31   1.768243   1.764966   1.761822   1.758802   1.755901   1.753109
gl2: 32   1.756166   1.752867   1.749701   1.746661   1.743739   1.740928
gl2: 33   1.744832   1.741512   1.738326   1.735266   1.732324   1.729495
gl2: 34   1.734175   1.730834   1.727628   1.724549   1.721589   1.718741
gl2: 35   1.724134   1.720774   1.717548   1.714451   1.711472   1.708607
gl2: 36   1.714657   1.711278   1.708034   1.704918   1.701922   1.699040
gl2: 37   1.705698   1.702300   1.699038   1.695905   1.692892   1.689993
gl2: 38   1.697214   1.693798   1.690519   1.687369   1.684339   1.681424
gl2: 39   1.689168   1.685735   1.682439   1.679272   1.676227   1.673296
gl2: 40   1.681527   1.678077   1.674764   1.671582   1.668521   1.665575
gl2: 41   1.674260   1.670794   1.667465   1.664267   1.661191   1.658231
gl2: 42   1.667341   1.663858   1.660515   1.657301   1.654211   1.651236
gl2: 43   1.660744   1.657246   1.653887   1.650659   1.647555   1.644566
gl2: 44   1.654447   1.650935   1.647561   1.644319   1.641201   1.638198
gl2: 45   1.648431   1.644904   1.641516   1.638260   1.635128   1.632113
gl2: 46   1.642676   1.639134   1.635733   1.632464   1.629319   1.626291
gl2: 47   1.637166   1.633610   1.630196   1.626913   1.623755   1.620715
gl2: 48   1.631885   1.628316   1.624888   1.621593   1.618423   1.615370
gl2: 49   1.626819   1.623237   1.619797   1.616489   1.613307   1.610242
gl2: 50   1.621955   1.618361   1.614908   1.611588   1.608394   1.605318
           gl1: 49    gl1: 50
gl2: 1  251.722586 251.774158
gl2: 2   19.475325  19.475733
gl2: 3    8.582095   8.580996
gl2: 4    5.700926   5.699492
gl2: 5    4.445995   4.444406
gl2: 6    3.755359   3.753668
gl2: 7    3.320627   3.318856
gl2: 8    3.022236   3.020398
gl2: 9    2.804741   2.802843
gl2: 10   2.639076   2.637124
gl2: 11   2.508589   2.506587
gl2: 12   2.403066   2.401018
gl2: 13   2.315902   2.313811
gl2: 14   2.242638   2.240507
gl2: 15   2.180155   2.177985
gl2: 16   2.126205   2.123999
gl2: 17   2.079127   2.076888
gl2: 18   2.037669   2.035397
gl2: 19   2.000865   1.998561
gl2: 20   1.967961   1.965628
gl2: 21   1.938358   1.935997
gl2: 22   1.911576   1.909188
gl2: 23   1.887223   1.884809
gl2: 24   1.864978   1.862539
gl2: 25   1.844573   1.842111
gl2: 26   1.825787   1.823301
gl2: 27   1.808429   1.805922
gl2: 28   1.792342   1.789813
gl2: 29   1.777387   1.774838
gl2: 30   1.763448   1.760879
gl2: 31   1.750423   1.747835
gl2: 32   1.738223   1.735616
gl2: 33   1.726771   1.724147
gl2: 34   1.715999   1.713358
gl2: 35   1.705848   1.703190
gl2: 36   1.696264   1.693590
gl2: 37   1.687201   1.684511
gl2: 38   1.678617   1.675911
gl2: 39   1.670474   1.667753
gl2: 40   1.662738   1.660003
gl2: 41   1.655379   1.652631
gl2: 42   1.648371   1.645608
gl2: 43   1.641687   1.638912
gl2: 44   1.635306   1.632518
gl2: 45   1.629208   1.626407
gl2: 46   1.623373   1.620560
gl2: 47   1.617785   1.614961
gl2: 48   1.612429   1.609593
gl2: 49   1.607289   1.604442
gl2: 50   1.602354   1.599495

curve(df(x, df1=2, df2=8), from=0, to=15,
      xlab="F",ylab = "f(x)")
abline(v=13.932, col="darkcyan")

Argumentos

La función curve() incluye como argumentos la función df(), que a su vez requiere de los argumentos x, que es el dominio sobre el cual será calculada la función y que en este caso va de 0 a 15, y df1 y df2 son los grados de libertad del numerador y denominador respectivamente. xlab e ylab permiten modificar las leyendas en los ejes correspondientes. La función abline() permite añadir una capa gráfica a la capa original. El argumento v permite añadir una línea vertical de color especificado mediante el argumento col.

Confiabilidad de las conclusiones

  • Coeficiente de variación: \(\frac{\sqrt{CMEE}}{\bar X}\)

  • Coeficiente de determinación: \(R^2\)

(sqrt(4.62))/mean(datos$as)*100
[1] 9.541945
resumen.modelo=summary(modelo)
resumen.modelo$r.squared
[1] 0.807701

Diseños desbalanceados

Supongamos que por algún motivo, se pierde un material experimental.

set.seed(1234)
i=sample(1:15,1)
datos.des=datos[-i,]
modelo.1=lm(as~trat+bl,datos.des)
modelo.2=lm(as~bl+trat,datos.des)

Comparación

summary(aov(modelo.1))
            Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)   
trat         2 135.40   67.70  14.062 0.00353 **
bl           4  20.58    5.14   1.069 0.43887   
Residuals    7  33.70    4.81                   
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
summary(aov(modelo.2))
            Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)   
bl           4  24.03    6.01   1.248 0.3733   
trat         2 131.94   65.97  13.703 0.0038 **
Residuals    7  33.70    4.81                  
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Por defecto, en R (y otros programas) se realiza lo que se conoce como suma de cuadrados ‘Tipo 1’.

Suma de cuadrados “Tipo 3”

library(car) # función 'Anova()' con mayúscula
Anova(modelo.1,type=3);Anova(modelo.2,type=3)
Anova Table (Type III tests)

Response: as
            Sum Sq Df  F value    Pr(>F)    
(Intercept) 610.00  1 126.7050 9.757e-06 ***
trat        131.94  2  13.7029  0.003799 ** 
bl           20.58  4   1.0685  0.438867    
Residuals    33.70  7                       
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Anova Table (Type III tests)

Response: as
            Sum Sq Df  F value    Pr(>F)    
(Intercept) 610.00  1 126.7050 9.757e-06 ***
bl           20.58  4   1.0685  0.438867    
trat        131.94  2  13.7029  0.003799 ** 
Residuals    33.70  7                       
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Estimación parcela perdida

datos.des.h=xtabs(as~trat+bl,datos.des)%>%addmargins()
datos.des.h
     bl
trat       I     II    III     IV      V    Sum
  A    15.59  18.55  22.17  15.31  20.86  92.48
  B    26.01  23.85  25.91  25.87  25.22 126.86
  C    22.05   0.00  23.45  25.13  26.92  97.55
  Sum  63.65  42.40  71.53  66.31  73.00 316.89

\(\tiny Parcela \space perdida=x=\frac{JB+ITr-G}{(I-1)(J-1)}\)

J=ncol(datos.des.h)-1
B=datos.des.h[4,2]
I=nrow(datos.des.h)-1
Tr=datos.des.h[3,6]
G=datos.des.h[4,6]
x=((J*B)+(I*Tr)-G)/((I-1)*(J-1)); x
[1] 23.47

datos.comp=datos.des%>%rbind(c("C","II",x))
modelo.3=lm(as~trat+bl,datos.comp)
Anova(modelo.3,type=3)
Anova Table (Type III tests)

Response: as
            Sum Sq Df  F value    Pr(>F)    
(Intercept) 620.89  1 147.3915 1.962e-06 ***
trat        135.37  2  16.0681  0.001578 ** 
bl           21.25  4   1.2611  0.360290    
Residuals    33.70  8                       
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
z=((B-(I-1)*x)^2)/(I*(I-1)) # coeficiente ajuste CMTrat
SCtrat.aj=135.37-z
CMtrat.aj=SCtrat.aj/2
CMEE.aj=33.70/7
F.calc=CMtrat.aj/CMEE.aj
pf(F.calc,df1=2,df2 = 7,lower.tail = FALSE)
[1] 0.003799047

Modelos mixtos

library(nlme)
modelo.mixto=lme(as~trat,random=~1|bl,datos.des)
summary(modelo.mixto)
Linear mixed-effects model fit by REML
  Data: datos.des 
       AIC      BIC    logLik
  63.34773 65.33721 -26.67386

Random effects:
 Formula: ~1 | bl
        (Intercept) Residual
StdDev:   0.5156704 2.160211

Fixed effects:  as ~ trat 
                Value Std.Error DF   t-value p-value
(Intercept) 18.496000 0.9932199  7 18.622261  0.0000
tratB        6.876000 1.3662376  7  5.032800  0.0015
tratC        5.872726 1.4532262  7  4.041165  0.0049
 Correlation: 
      (Intr) tratB 
tratB -0.688       
tratC -0.647  0.470

Standardized Within-Group Residuals:
       Min         Q1        Med         Q3        Max 
-1.4314510 -0.6272199  0.1173099  0.3979553  1.6265697 

Number of Observations: 14
Number of Groups: 5 

anova(modelo.mixto,type = "marginal") # función 'anova()' con minúscula
            numDF denDF  F-value p-value
(Intercept)     1     7 346.7886  <.0001
trat            2     7  14.4661  0.0033

Resolución con InfoStat

Para importar datos al entorno de InfoStat, seleccionar el menú Archivo>>Nueva tabla. Luego, seleccionar el menú Edición>>Pegar con nombre de columnas.

InfoStat

Revisar que las columnas trat y bl sean de tipo categórica, y la columna as se tipo real. En caso contrario, sobre el nombre de la columna hacer click derecho, y seleccionar Tipo de dato, y luego el tipo de dato que corresponda.

A continuación, Estadísticas>>Análisis de la varianza.En la ventana selectora de variables, enviar la variable as al bloque `variables dependientes`,y a las variables trat y bl al bloque `variables de clasificación`. Luego seleccionar Aceptar.

En la ventana siguiente, en el sector inferior derecho de la pestaña Modelo, marcar todos los tipos de residuos. Los mismos serán empleados para el análisis de los supuestos. Al dar Aceptar, en la tabla de datos se creará una columna por cada tipo de residuo.

Diagnósticos

Normalidad de residuos: qq-plot

Seleccionar el menú Gráficos>>Q-qplot. En el selector de variables, incluir la variable RDUO as dentro del bloque de Variables. Seleccionar Aceptar dos veces.

Normalidad de residuos: prueba Shapiro-Wilk

Seleccionar el menú Estadísticas>>Inferencia basada en una muestra>>Prueba de Normalidad (Shapiro-Wilks modificado). En el selector de variables, ingresar la variable RDUO as en el bloque de Variables. Seleccionar Aceptar.

Homocedasticidad: residuos vs predichos

Seleccionar el menú Gráficos>>Diagrama de dispersión. En el selector de variables, incluir la variable RE as (residuos estudentizados) en el eje Y, y la variable PRED as en el eje X. Luego, Aceptar.

Homocedasticidad: prueba de Levene

Consiste en realizar una análisis de la varianza de los residuos absolutos por grupo. Seleccionar el menú Estadísticas>>Análisis de la varianza. En el selector de variables, ingresar la variable RABS as en el bloque de Variables dependientes, y la variable trat en el bloque Variables de clasificación. Luego, Aceptar dos veces.

Interpretación

Una vez verificados los supuestos del modelo, volvemos a la primera ventana de resultados para realizar la interpretación de los resultados.

Diseños desbalanceados y modelos mixtos en InfoStat

En InfoStat, en caso de diseños desbalanceados se realiza por defecto la suma de cuadrados de Tipo 1 (secuencial). En la ventana de resultados, se informa esta situación.

Los modelos mixtos se construyen desde Estadísticas>>Modelos lineales generales y mixtos. Dado que es una implementación en R, no se desarrolla en esta guía.

DCL

Contenido

  • Aleatorización

  • Modelo matemático

  • Supuestos del modelo

  • Hipótesis | decisión y conclusión

  • Diseños desbalanceados

Situación

Se desea comparar la capacidad bioacumuladora de 5 especies hortícolas (A, B, C, D y E). Se considerarán 5 (cinco) réplicas por cada especie. Suponga que por las características del espacio físico en el cual se dispondrán las macetas, algunas estarán más próximas al acceso del invernáculo (con mayor luminosidad, aireación, etc.) y otras estarán más alejadas del mismo. Además, se cuenta con 5 sustratos diferentes.

Definiciones

Definir v.a., tratamientos, filas, columnas y U.E.

Variable respuesta: concentración de As en ppm en hojas de hortalizas sometidas a riego con agua de Susques.

  • Tratamientos: cada una de las especies analizadas: A, B, C, D y E.

  • Filas: Ubicación relativa al acceso del invernadero: 1, 2, 3, 4, 5.

  • Columnas: Cada uno de los sustratos empleados en el ensayo: 1, 2, 3, 4, 5.

  • U.E.: cada una de las plantas en macetas, sobre cuyas hojas se determinará la concentración de As.

Aleatorización

En este caso, se realiza una aleatorización completa en tres etapas:

esquema.base=matrix(c("A","B","C","D","E",
                      "B","C","D","E","A",
                      "C","D","E","A","B",
                      "D","E","A","B","C",
                      "E","A","B","C","D"),
                    ncol = 5,nrow = 5)
esquema.base
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] "A"  "B"  "C"  "D"  "E" 
[2,] "B"  "C"  "D"  "E"  "A" 
[3,] "C"  "D"  "E"  "A"  "B" 
[4,] "D"  "E"  "A"  "B"  "C" 
[5,] "E"  "A"  "B"  "C"  "D" 

# 1er paso: aleatorización filas
esquema.1=esquema.base[sample(1:5),]; esquema.1
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] "B"  "C"  "D"  "E"  "A" 
[2,] "E"  "A"  "B"  "C"  "D" 
[3,] "A"  "B"  "C"  "D"  "E" 
[4,] "D"  "E"  "A"  "B"  "C" 
[5,] "C"  "D"  "E"  "A"  "B" 
# 2do paso: aleatorización columnas
esquema.2=esquema.1[,sample(1:5)]; esquema.2
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] "B"  "A"  "C"  "D"  "E" 
[2,] "E"  "D"  "A"  "B"  "C" 
[3,] "A"  "E"  "B"  "C"  "D" 
[4,] "D"  "C"  "E"  "A"  "B" 
[5,] "C"  "B"  "D"  "E"  "A" 
# 3er paso: asignación aleatoria de letras latinas a cada tratamiento
especies=c("L.sativa","B.oleracea1","B.oleracea2","R.sativa","B.vulgaris")
names(especies)=sample(c("A","B","C","D","E"))
especies
            B             C             E             D             A 
   "L.sativa" "B.oleracea1" "B.oleracea2"    "R.sativa"  "B.vulgaris" 

Datos

#datos=read.table("clipboard",header=TRUE)
boxplot(as~trat,datos)

Modelo matemático

 

\[ \Large y_{ijk} = \mu + \tau_i + \beta_j+ \gamma_k+\epsilon_{ijk} \]

 

\(\forall \space i=j=k=1:5\)

\(\epsilon \sim N(0,\sigma^2)\)

 

Construcción del modelo

modelo=lm(as~trat+filas+cols,datos)

Argumentos

  • Los factores filas y columnas son incluídos en el modelo al solo efecto de realizar un control local. Por este motivo, no se debe especificar efectos de interacción de tratamientos y filas/columnas en los términos del modelo.

Diagnóstico del modelo

Normalidad de residuos: qq-plot

plot(modelo,which = 2)

Normalidad de residuos: prueba Shapiro-Wilk

shapiro.test(resid(modelo))

    Shapiro-Wilk normality test

data:  resid(modelo)
W = 0.92638, p-value = 0.07171

Hipótesis nula de la prueba

La hipótesis nula de la prueba de Shapiro-Wilk es que la distribución de la serie de datos se distribuye aproximadamente como una normal.

Homocedasticidad | independencia: residuos estandarizados

plot(modelo,which=5)

Homocedasticidad: prueba de Bartlett

bartlett.test(resid(modelo),datos$trat,datos)

    Bartlett test of homogeneity of variances

data:  resid(modelo) and datos$trat
Bartlett's K-squared = 0.96118, df = 4, p-value = 0.9156

Hipótesis nula de la prueba

La hipótesis nula de la prueba de Bartlett es que existe homogeneidad de varianzas entre grupos.

Homocedasticidad: prueba de Levene

#install.packages("car")
library(car)
leveneTest(resid(modelo),datos$trat,center = mean)
Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = mean)
      Df F value Pr(>F)
group  4  0.3418 0.8465
      20               

Hipótesis nula de la prueba

La hipótesis nula de la prueba de Levene es que existe homogeneidad de varianzas entre grupos.

Importante

Avanzaremos en el análisis de la varianza únicamente en el caso de que se cumplan todos los supuestos del modelo. En caso contrario, se deben buscar alternativas, como ser los métodos no paramétricos o de distribución libre.

Análisis de la varianza. Partición de SC

 

\[ \small \sum_{ijk} (x_{ijk} - \bar{X})^2 = SCEE + \sum_{i}r(\hat x_i - \bar{X})^2 + \sum_{j}r(\hat x_j - \bar{X})^2+ \sum_{k}r(\hat x_k - \bar{X})^2 \]

\[ \small SCT = SCEE + SCTrat + SCFilas + SCColumnas \]

Hipótesis (tratamientos)

  • \(H_0: \space \mu_1=\mu_2=\mu_3=\mu_4=\mu_5\)
  • \(H_1:\) Al menos una de las medias es diferente.
  • \(\alpha: 0,05\)
  • \(F_{calc}=\frac{CMTrat}{CMEE}\sim F(\nu_1,\nu_2)\)
  • Regla de decisión: se rechaza \(H_0 \iff p.valor<\alpha\)

Pregunta

¿Cuáles son las hipótesis para filas y columnas?

Decisión y conclusión

anava=aov(modelo)
resumen.anava=summary(anava); resumen.anava
            Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
trat         4 140.11   35.03  10.314 0.000739 ***
filas        4  28.29    7.07   2.083 0.146255    
cols         4  25.23    6.31   1.857 0.182915    
Residuals   12  40.75    3.40                     
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Decisión y conclusión: Se rechaza \(H_0\). Hay evidencia para afirmar que al menos una de las especies tiene capacidad bioacumuladora de As diferente al resto.

Pregunta

¿Qué decisión | conclusión corresponde a las filas | columnas?

Tabla “F” de Snedecor para \(\alpha=0.05\)

            gl1: 1     gl1: 2     gl1: 3     gl1: 4     gl1: 5     gl1: 6
gl2: 1  161.447639 199.500000 215.707345 224.583241 230.161878 233.986000
gl2: 2   18.512821  19.000000  19.164292  19.246794  19.296410  19.329534
gl2: 3   10.127964   9.552094   9.276628   9.117182   9.013455   8.940645
gl2: 4    7.708647   6.944272   6.591382   6.388233   6.256057   6.163132
gl2: 5    6.607891   5.786135   5.409451   5.192168   5.050329   4.950288
gl2: 6    5.987378   5.143253   4.757063   4.533677   4.387374   4.283866
gl2: 7    5.591448   4.737414   4.346831   4.120312   3.971523   3.865969
gl2: 8    5.317655   4.458970   4.066181   3.837853   3.687499   3.580580
gl2: 9    5.117355   4.256495   3.862548   3.633089   3.481659   3.373754
gl2: 10   4.964603   4.102821   3.708265   3.478050   3.325835   3.217175
gl2: 11   4.844336   3.982298   3.587434   3.356690   3.203874   3.094613
gl2: 12   4.747225   3.885294   3.490295   3.259167   3.105875   2.996120
gl2: 13   4.667193   3.805565   3.410534   3.179117   3.025438   2.915269
gl2: 14   4.600110   3.738892   3.343889   3.112250   2.958249   2.847726
gl2: 15   4.543077   3.682320   3.287382   3.055568   2.901295   2.790465
gl2: 16   4.493998   3.633723   3.238872   3.006917   2.852409   2.741311
gl2: 17   4.451322   3.591531   3.196777   2.964708   2.809996   2.698660
gl2: 18   4.413873   3.554557   3.159908   2.927744   2.772853   2.661305
gl2: 19   4.380750   3.521893   3.127350   2.895107   2.740058   2.628318
gl2: 20   4.351244   3.492828   3.098391   2.866081   2.710890   2.598978
gl2: 21   4.324794   3.466800   3.072467   2.840100   2.684781   2.572712
gl2: 22   4.300950   3.443357   3.049125   2.816708   2.661274   2.549061
gl2: 23   4.279344   3.422132   3.027998   2.795539   2.639999   2.527655
gl2: 24   4.259677   3.402826   3.008787   2.776289   2.620654   2.508189
gl2: 25   4.241699   3.385190   2.991241   2.758710   2.602987   2.490410
gl2: 26   4.225201   3.369016   2.975154   2.742594   2.586790   2.474109
gl2: 27   4.210008   3.354131   2.960351   2.727765   2.571886   2.459108
gl2: 28   4.195972   3.340386   2.946685   2.714076   2.558128   2.445259
gl2: 29   4.182964   3.327654   2.934030   2.701399   2.545386   2.432434
gl2: 30   4.170877   3.315830   2.922277   2.689628   2.533555   2.420523
gl2: 31   4.159615   3.304817   2.911334   2.678667   2.522538   2.409432
gl2: 32   4.149097   3.294537   2.901120   2.668437   2.512255   2.399080
gl2: 33   4.139252   3.284918   2.891564   2.658867   2.502635   2.389394
gl2: 34   4.130018   3.275898   2.882604   2.649894   2.493616   2.380313
gl2: 35   4.121338   3.267424   2.874187   2.641465   2.485143   2.371781
gl2: 36   4.113165   3.259446   2.866266   2.633532   2.477169   2.363751
gl2: 37   4.105456   3.251924   2.858796   2.626052   2.469650   2.356179
gl2: 38   4.098172   3.244818   2.851741   2.618988   2.462548   2.349027
gl2: 39   4.091279   3.238096   2.845068   2.612306   2.455831   2.342262
gl2: 40   4.084746   3.231727   2.838745   2.605975   2.449466   2.335852
gl2: 41   4.078546   3.225684   2.832747   2.599969   2.443429   2.329771
gl2: 42   4.072654   3.219942   2.827049   2.594263   2.437693   2.323994
gl2: 43   4.067047   3.214480   2.821628   2.588836   2.432236   2.318498
gl2: 44   4.061706   3.209278   2.816466   2.583667   2.427040   2.313264
gl2: 45   4.056612   3.204317   2.811544   2.578739   2.422085   2.308273
gl2: 46   4.051749   3.199582   2.806845   2.574035   2.417356   2.303509
gl2: 47   4.047100   3.195056   2.802355   2.569540   2.412837   2.298956
gl2: 48   4.042652   3.190727   2.798061   2.565241   2.408514   2.294601
gl2: 49   4.038393   3.186582   2.793949   2.561124   2.404375   2.290432
gl2: 50   4.034310   3.182610   2.790008   2.557179   2.400409   2.286436
            gl1: 7     gl1: 8     gl1: 9    gl1: 10    gl1: 11    gl1: 12
gl2: 1  236.768400 238.882695 240.543255 241.881747 242.983458 243.906038
gl2: 2   19.353218  19.370993  19.384826  19.395897  19.404958  19.412511
gl2: 3    8.886743   8.845238   8.812300   8.785525   8.763333   8.744641
gl2: 4    6.094211   6.041044   5.998779   5.964371   5.935813   5.911729
gl2: 5    4.875872   4.818320   4.772466   4.735063   4.703967   4.677704
gl2: 6    4.206658   4.146804   4.099016   4.059963   4.027442   3.999935
gl2: 7    3.787044   3.725725   3.676675   3.636523   3.603037   3.574676
gl2: 8    3.500464   3.438101   3.388130   3.347163   3.312951   3.283939
gl2: 9    3.292746   3.229583   3.178893   3.137280   3.102485   3.072947
gl2: 10   3.135465   3.071658   3.020383   2.978237   2.942957   2.912977
gl2: 11   3.012330   2.947990   2.896223   2.853625   2.817930   2.787569
gl2: 12   2.913358   2.848565   2.796375   2.753387   2.717331   2.686637
gl2: 13   2.832098   2.766913   2.714356   2.671024   2.634650   2.603661
gl2: 14   2.764199   2.698672   2.645791   2.602155   2.565497   2.534243
gl2: 15   2.706627   2.640797   2.587626   2.543719   2.506806   2.475313
gl2: 16   2.657197   2.591096   2.537667   2.493513   2.456369   2.424660
gl2: 17   2.614299   2.547955   2.494291   2.449916   2.412561   2.380654
gl2: 18   2.576722   2.510158   2.456281   2.411702   2.374156   2.342067
gl2: 19   2.543534   2.476770   2.422699   2.377934   2.340210   2.307954
gl2: 20   2.514011   2.447064   2.392814   2.347878   2.309991   2.277581
gl2: 21   2.487578   2.420462   2.366048   2.320953   2.282916   2.250362
gl2: 22   2.463774   2.396503   2.341937   2.296696   2.258518   2.225831
gl2: 23   2.442226   2.374812   2.320105   2.274728   2.236419   2.203607
gl2: 24   2.422629   2.355081   2.300244   2.254739   2.216309   2.183380
gl2: 25   2.404728   2.337057   2.282097   2.236474   2.197929   2.164891
gl2: 26   2.388314   2.320527   2.265453   2.219718   2.181067   2.147926
gl2: 27   2.373208   2.305313   2.250131   2.204292   2.165540   2.132303
gl2: 28   2.359260   2.291264   2.235982   2.190044   2.151197   2.117869
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gl2: 45   1.648431   1.644904   1.641516   1.638260   1.635128   1.632113
gl2: 46   1.642676   1.639134   1.635733   1.632464   1.629319   1.626291
gl2: 47   1.637166   1.633610   1.630196   1.626913   1.623755   1.620715
gl2: 48   1.631885   1.628316   1.624888   1.621593   1.618423   1.615370
gl2: 49   1.626819   1.623237   1.619797   1.616489   1.613307   1.610242
gl2: 50   1.621955   1.618361   1.614908   1.611588   1.608394   1.605318
           gl1: 49    gl1: 50
gl2: 1  251.722586 251.774158
gl2: 2   19.475325  19.475733
gl2: 3    8.582095   8.580996
gl2: 4    5.700926   5.699492
gl2: 5    4.445995   4.444406
gl2: 6    3.755359   3.753668
gl2: 7    3.320627   3.318856
gl2: 8    3.022236   3.020398
gl2: 9    2.804741   2.802843
gl2: 10   2.639076   2.637124
gl2: 11   2.508589   2.506587
gl2: 12   2.403066   2.401018
gl2: 13   2.315902   2.313811
gl2: 14   2.242638   2.240507
gl2: 15   2.180155   2.177985
gl2: 16   2.126205   2.123999
gl2: 17   2.079127   2.076888
gl2: 18   2.037669   2.035397
gl2: 19   2.000865   1.998561
gl2: 20   1.967961   1.965628
gl2: 21   1.938358   1.935997
gl2: 22   1.911576   1.909188
gl2: 23   1.887223   1.884809
gl2: 24   1.864978   1.862539
gl2: 25   1.844573   1.842111
gl2: 26   1.825787   1.823301
gl2: 27   1.808429   1.805922
gl2: 28   1.792342   1.789813
gl2: 29   1.777387   1.774838
gl2: 30   1.763448   1.760879
gl2: 31   1.750423   1.747835
gl2: 32   1.738223   1.735616
gl2: 33   1.726771   1.724147
gl2: 34   1.715999   1.713358
gl2: 35   1.705848   1.703190
gl2: 36   1.696264   1.693590
gl2: 37   1.687201   1.684511
gl2: 38   1.678617   1.675911
gl2: 39   1.670474   1.667753
gl2: 40   1.662738   1.660003
gl2: 41   1.655379   1.652631
gl2: 42   1.648371   1.645608
gl2: 43   1.641687   1.638912
gl2: 44   1.635306   1.632518
gl2: 45   1.629208   1.626407
gl2: 46   1.623373   1.620560
gl2: 47   1.617785   1.614961
gl2: 48   1.612429   1.609593
gl2: 49   1.607289   1.604442
gl2: 50   1.602354   1.599495

F=anova(modelo)$`F value`[1] # F tratamiento
curve(df(x, df1=4, df2=12), from=0, to=12,
      xlab="F",ylab = "f(x)")
abline(v=F, col="darkcyan")

Argumentos

La función curve() incluye como argumentos la función df(), que a su vez requiere de los argumentos x, que es el dominio sobre el cual será calculada la función y que en este caso va de 0 a 12, y df1 y df2 son los grados de libertad del numerador y denominador respectivamente. xlab e ylab permiten modificar las leyendas en los ejes correspondientes. La función abline() permite añadir una capa gráfica a la capa original. El argumento v permite añadir una línea vertical de color especificado mediante el argumento col.

Confiabilidad de las conclusiones

  • Coeficiente de variación: \(\frac{\sqrt{CMEE}}{\bar X}\)

  • Coeficiente de determinación: \(R^2\)

CMEE=anova(modelo)$`Mean Sq`[4] # F tratamiento
(sqrt(CMEE))/mean(datos$as)*100
[1] 8.408141
resumen.modelo=summary(modelo)
resumen.modelo$r.squared
[1] 0.8261226

Diseños desbalanceados

Supongamos que por algún motivo, se pierde un material experimental.

set.seed(1234)
i=sample(1:25,1)
datos.des=datos[-i,]
modelo.1=lm(as~trat+filas+cols,datos.des)
modelo.2=lm(as~filas+cols+trat,datos.des)

Comparación

summary(aov(modelo.1))
            Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)   
trat         4 140.68   35.17  10.065 0.00112 **
filas        4  26.48    6.62   1.894 0.18166   
cols         4  27.43    6.86   1.963 0.17005   
Residuals   11  38.44    3.49                   
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
summary(aov(modelo.2))
            Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)   
filas        4  26.97    6.74   1.930 0.17551   
cols         4  27.29    6.82   1.952 0.17179   
trat         4 140.33   35.08  10.040 0.00113 **
Residuals   11  38.44    3.49                   
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Por defecto, en R (y otros programas) se realiza lo que se conoce como suma de cuadrados ‘Tipo 1’.

Suma de cuadrados “Tipo 3”

library(car) # función 'Anova()' con mayúscula
Anova(modelo.1,type=3);Anova(modelo.2,type=3)
Anova Table (Type III tests)

Response: as
            Sum Sq Df  F value   Pr(>F)    
(Intercept) 590.93  1 169.1166 5.07e-08 ***
trat        140.33  4  10.0402 0.001133 ** 
filas        30.60  4   2.1891 0.137256    
cols         27.43  4   1.9628 0.170049    
Residuals    38.44 11                      
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Anova Table (Type III tests)

Response: as
            Sum Sq Df  F value   Pr(>F)    
(Intercept) 590.93  1 169.1166 5.07e-08 ***
filas        30.60  4   2.1891 0.137256    
cols         27.43  4   1.9628 0.170049    
trat        140.33  4  10.0402 0.001133 ** 
Residuals    38.44 11                      
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Estimación parcela perdida

# Fila perdida
datos[i,]
   trat filas cols    as
16    D     1    4 20.78

\(\tiny Parcela \space perdida=x=\frac{r(T+F+C)-2G}{(r-1)(r-2)}\)

r=5
T=sum(datos.des$as[datos.des$trat=="D"])
F=sum(datos.des$as[datos.des$filas=="1"])
C=sum(datos.des$as[datos.des$cols=="4"])
G=sum(datos.des$as)
x=(r*(T+F+C)-2*G)/((r-1)*(r-2));x
[1] 18.58333

datos.comp=datos.des%>%rbind(c("D","1","4",x))
modelo.3=lm(as~trat+filas+cols,datos.comp)
Anova(modelo.3,type=3)
Anova Table (Type III tests)

Response: as
            Sum Sq Df  F value    Pr(>F)    
(Intercept) 625.02  1 195.1345 8.749e-09 ***
trat        140.43  4  10.9605 0.0005623 ***
filas        33.36  4   2.6034 0.0892036 .  
cols         31.78  4   2.4808 0.0999326 .  
Residuals    38.44 12                       
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
W=((G-F-C-(r-1)*T)^2)/(((r-1)^2)*((r-2)^2)) # coeficiente ajuste CMTrat
SCtrat=anova(modelo.3)$`Sum Sq`[1]
SCtrat.aj=SCtrat-W
CMtrat.aj=SCtrat.aj/4
SCEE=anova(modelo.3)$`Sum Sq`[4]
CMEE.aj=SCEE/11
F.calc=CMtrat.aj/CMEE.aj
pf(F.calc,df1=4,df2 = 11,lower.tail = FALSE)
[1] 0.001132935

Modelos mixtos

library(nlme)
datos.des$id=factor(1) # creamos una variable "dummy"
modelo.mixto=lme(as~trat,
                 random=list(id=pdBlocked(list(pdIdent(~filas-1),pdIdent(~cols-1)))),
                 datos.des)
summary(modelo.mixto)
Linear mixed-effects model fit by REML
  Data: datos.des 
       AIC      BIC    logLik
  107.1226 114.6781 -45.56129

Random effects:
 Composite Structure: Blocked

 Block 1: filas1, filas2, filas3, filas4, filas5
 Formula: ~filas - 1 | id
 Structure: Multiple of an Identity
           filas1    filas2    filas3    filas4    filas5
StdDev: 0.8313487 0.8313487 0.8313487 0.8313487 0.8313487

 Block 2: cols1, cols2, cols3, cols4, cols5
 Formula: ~cols - 1 | id
 Structure: Multiple of an Identity
            cols1     cols2     cols3     cols4     cols5 Residual
StdDev: 0.7256908 0.7256908 0.7256908 0.7256908 0.7256908 1.919238

Fixed effects:  as ~ trat 
                Value Std.Error DF   t-value p-value
(Intercept) 18.296000  0.990075 19 18.479409  0.0000
tratB        6.876000  1.213833 19  5.664702  0.0000
tratC        5.214000  1.213833 19  4.295485  0.0004
tratD        3.790448  1.303089 19  2.908817  0.0090
tratE        2.292000  1.213833 19  1.888234  0.0744
 Correlation: 
      (Intr) tratB  tratC  tratD 
tratB -0.613                     
tratC -0.613  0.500              
tratD -0.571  0.466  0.466       
tratE -0.613  0.500  0.500  0.466

Standardized Within-Group Residuals:
         Min           Q1          Med           Q3          Max 
-1.327054130 -0.651135955 -0.007937152  0.480081155  1.842173052 

Number of Observations: 24
Number of Groups: 1 

anova(modelo.mixto,type = "marginal") # función 'anova()' con minúscula
            numDF denDF  F-value p-value
(Intercept)     1    19 341.4886  <.0001
trat            4    19   9.5129   2e-04

Resolución con InfoStat

Para importar datos al entorno de InfoStat, seleccionar el menú Archivo>>Nueva tabla. Luego, seleccionar el menú Edición>>Pegar con nombre de columnas.

InfoStat

Revisar que las columnas trat, filas y cols sean de tipo categórica, y la columna as se tipo real. En caso contrario, sobre el nombre de la columna hacer click derecho, y seleccionar Tipo de dato, y luego el tipo de dato que corresponda.

A continuación, Estadísticas>>Análisis de la varianza.En la ventana selectora de variables, enviar la variable as al bloque `variables dependientes`,y a las variables trat, filas y cols al bloque `variables de clasificación`. Luego seleccionar Aceptar.

En la ventana siguiente, en el sector inferior derecho de la pestaña Modelo, marcar todos los tipos de residuos. Los mismos serán empleados para el análisis de los supuestos. Al dar Aceptar, en la tabla de datos se creará una columna por cada tipo de residuo.

Diagnósticos

Ejercicio

Se dejará que el alumno realice las pruebas de los supuestos del modelo necesarias, recordando que en el caso de las pruebas de varianzas homogéneas, éstas deben realizarse sobre tratamientos.

Resultados

Diseños desbalanceados y modelos mixtos en InfoStat

En InfoStat, en caso de diseños desbalanceados se realiza por defecto la suma de cuadrados de Tipo 1 (secuencial). En la ventana de resultados, se informa esta situación. Los diseños cuadrados latinos, al presentar una repetición por cada combinación de factores, es tomada por infostat como un diseño desbalanceado.

Los modelos mixtos se construyen desde Estadísticas>>Modelos lineales generales y mixtos. Dado que es una implementación en R, no se desarrolla en esta guía.

Pruebas de comparaciones de medias (‘post hoc’)

Contenido

  • Contrastes | Prueba LSD

  • Prueba Scheffe

  • Prueba Tukey

  • Prueba Duncan

  • Prueba Dunnett

Situación

Por presentar mayor cantidad de tratamientos, vamos a emplear los datos simulados para un DCL en el ensayo de bio-acumulación.

Tipos de pruebas

Las pruebas de comparaciones de medias se pueden clasificar según el momento en que se definan los contrastes en:

  • Contrastes a priori: test LSD (contrastes ortogonales), test Scheffé (contrastes no ortogonales), test Dunnett, etc.

  • Contrastes a posteriori: Scheffé, Tukey, Duncan, etc.

Contrastes

Un contraste d es un arreglo algebraico con la forma:

\[ \small d = a_1 \tau_1+a_2 \tau_2+a_3 \tau_3+...+a_n \tau_n \]

Con la condición de que \(\small \sum_ia_i=0\). Ejemplos:

  • \(\small d_1=\tau_3-\tau_2\)

  • \(\small d_2=2\tau_1-\tau_2-\tau_3\)

Además, \(d_1\) y \(d_2\) serán ortogonales (independientes) si al sumar los productos de los coeficientes de cada término, da como resultado 0.

\(\small d_1= 0\tau_1-1\tau_2+1\tau_3+0\tau_4\)

\(\small d_2= 2\tau_1-1\tau_2-1\tau_3+0\tau_4\)

Multiplicando los coeficientes de cada término en forma vertical, obtendremos: 0 +1 -1 0, que sumados da 0, con lo cual \(d_1\) y \(d_2\) son ortogonales.

Varianza del contraste

Recordar:

  • \(\small Var(\mathbf cX)=\mathbf{c^2}Var(X)\).

  • \(\small Var(X+Y)=Var(X-Y)=Var(X) + Var(Y)\)

Por lo tanto si \(d=\tau_1-\tau_2\), entonces

\[ \small Var(d)=1^2Var(\bar x_1)+1^2Var(\bar x_2)=1^2\frac{S^2_1}{r_1}+1^2\frac{S^2_2}{r_2}=CMEE \left(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}\right) \]

Por ser un supuesto del modelo. Luego:

\[ EE_d=\sqrt{CMEE \left(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}\right)} \]

Prueba LSD | “t” | Fisher

Características

  • Contrastes “a priori” ortogonales.

  • \(Máx_{n°contr}=G.l. \space tratamientos\)

  • No contrastar media mayor con menor, ni las dos mayores con la menor.

  • \(H_0:d = 0\) ; \(H_1:d\ne 0\)

  • Es una prueba sensible, no recomendable cuando el número de tratamientos es elevado (“inflación de \(\alpha\)).

  • Estadístico: \(t_c=\frac{\hat d_i - 0}{EE_d}\)

LSD. Contrastes múltiples.

Planteamos \(\tau -1=4\) contrastes ortogonales:

  1. \(d_1=4.\bar x_1-\bar x_2-\bar x_3-\bar x_4-\bar x_5\)

  2. \(d_2=3.\bar x_2 - \bar x_3- \bar x_4- \bar x_5\)

  3. \(d_3=2.\bar x_3-\bar x_4-\bar x_5\)

  4. \(d_4=\bar x_4-\bar x_5\)

c1=c(4,-1,-1,-1,-1)
c2=c(0,3,-1,-1,-1)
c3=c(0,0,2,-1,-1)
c4=c(0,0,0,1,-1)
sum(c1*c2) # los contrastes 1 y 2 son ortogonales (probar la ortogonalidad entre el resto de los contrastes)
[1] 0
modelo=lm(as~trat+filas+cols,datos)
anava=anova(modelo);anava
Analysis of Variance Table

Response: as
          Df  Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)   
trat       4 140.106  35.026  6.4657 0.005167 **
filas      4  28.290   7.072  1.3055 0.322633   
cols       4   0.970   0.243  0.0448 0.995674   
Residuals 12  65.007   5.417                    
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

#install.packages("emmeans")
library(emmeans)
mediasModelo=lsmeans(modelo,~trat); mediasModelo
 trat lsmean   SE df lower.CL upper.CL
 A      18.3 1.04 12     16.0     20.6
 B      25.2 1.04 12     22.9     27.4
 C      23.5 1.04 12     21.2     25.8
 D      22.0 1.04 12     19.8     24.3
 E      20.6 1.04 12     18.3     22.9

Results are averaged over the levels of: filas, cols 
Confidence level used: 0.95 
summary(contrast(mediasModelo,list(c1,c2,c3,c4)))
 contrast             estimate   SE df t.ratio p.value
 c(4, -1, -1, -1, -1)   -18.11 4.66 12  -3.890  0.0022
 c(0, 3, -1, -1, -1)      9.40 3.61 12   2.606  0.0230
 c(0, 0, 2, -1, -1)       4.41 2.55 12   1.730  0.1092
 c(0, 0, 0, 1, -1)        1.43 1.47 12   0.973  0.3499

Results are averaged over the levels of: filas, cols 

Argumentos

  • La función lsmeans realiza una estimación marginal de las medias de los tratamientos especificados en un modelo. Requiere como argumentos el nombre del modelo ajustado, y el factor o tratamiento (antecedido por el símbolo ‘~’).

  • La función contrast computa los contrastes especificados para un objeto lsmeans. Requiere como argumentos el objeto lsmeans y una lista con los contrastes establecidos.

  • La función summary() presenta un resumen de los resultados.

LSD. Contrastes de ‘a pares’.

library(agricolae)
LSD.test(modelo,trt = "trat",console = TRUE)

Study: modelo ~ "trat"

LSD t Test for as 

Mean Square Error:  5.417266 

trat,  means and individual ( 95 %) CI

      as      std r      LCL      UCL   Min   Max
A 18.296 2.905044 5 16.02809 20.56391 15.31 22.17
B 25.172 1.047387 5 22.90409 27.43991 23.85 26.01
C 23.510 2.053521 5 21.24209 25.77791 21.00 25.92
D 22.020 2.739389 5 19.75209 24.28791 19.98 26.83
E 20.588 1.519661 5 18.32009 22.85591 19.02 22.92

Alpha: 0.05 ; DF Error: 12
Critical Value of t: 2.178813 

least Significant Difference: 3.207303 

Treatments with the same letter are not significantly different.

      as groups
B 25.172      a
C 23.510     ab
D 22.020     ab
E 20.588     bc
A 18.296      c

Prueba Scheffé.

Características

  • Contrastes (no ortogonales) “a priori” o “a posteriori”, múltiples o de a pares.

  • Prueba conservadora (poco sensible).

  • Estadístico: \(Sch=\sqrt{(n-1).F.EE_d^2}\)

Scheffé. Contraste de a “pares”

#library(agricolae)
scheffe.test(modelo,trt = "trat",console = TRUE)

Study: modelo ~ "trat"

Scheffe Test for as 

Mean Square Error  : 5.417266 

trat,  means

      as      std r   Min   Max
A 18.296 2.905044 5 15.31 22.17
B 25.172 1.047387 5 23.85 26.01
C 23.510 2.053521 5 21.00 25.92
D 22.020 2.739389 5 19.98 26.83
E 20.588 1.519661 5 19.02 22.92

Alpha: 0.05 ; DF Error: 12 
Critical Value of F: 3.259167 

Minimum Significant Difference: 5.315001 

Means with the same letter are not significantly different.

      as groups
B 25.172      a
C 23.510     ab
D 22.020     ab
E 20.588     ab
A 18.296      b

Prueba de Tukey.

Características

  • Contrastes de a pares “a posteriori”.

  • Prueba eficiente (ni muy sensible ni muy conservadora).

  • DMS (\(=\) nro. rep.): \(\Delta=q\sqrt{\frac{CMEE}{r}}\)

  • DMS (\(\ne\) nro. rep.): \(\Delta=q\sqrt{0,5.EE^2_d}\), donde \(EE^2_d\) es la varianza del contraste y depende si el contraste proviene de un DCA o un DBCA/DCL con parcela perdida.

  • q” tiene una distribución de rangos estudentizada.

Tukey. Contraste de a “pares”

#library(agricolae)
HSD.test(modelo,trt = "trat",unbalanced = FALSE,console = TRUE)

Study: modelo ~ "trat"

HSD Test for as 

Mean Square Error:  5.417266 

trat,  means

      as      std r   Min   Max
A 18.296 2.905044 5 15.31 22.17
B 25.172 1.047387 5 23.85 26.01
C 23.510 2.053521 5 21.00 25.92
D 22.020 2.739389 5 19.98 26.83
E 20.588 1.519661 5 19.02 22.92

Alpha: 0.05 ; DF Error: 12 
Critical Value of Studentized Range: 4.50771 

Minimun Significant Difference: 4.692033 

Treatments with the same letter are not significantly different.

      as groups
B 25.172      a
C 23.510      a
D 22.020     ab
E 20.588     ab
A 18.296      b

Prueba de Duncan.

Características

  • Contrastes de a pares “a posteriori”, considerando el número de medias que “abarca” el contraste cuando son ordenadas en forma ascendente.

  • Suponiendo n medias ordenadas: \(\bar x_1>\bar x_2>...>\bar x_n\), entonces se dice que el contraste \(d_1=\bar x_1-\bar x_n\) abarca n medias, el contraste \(d_2=\bar x_1-\bar x_4\) abarca 4 medias, etc.

  • Prueba más sensible que Tukey.

  • “Inflación de \(\alpha\)”.

  • DMS (\(=\) nro. rep.): \(D=z\sqrt{\frac{CMEE}{r}}\)

Duncan. Contraste de a “pares”

#library(agricolae)
duncan.test(modelo,trt = "trat",console = TRUE)

Study: modelo ~ "trat"

Duncan's new multiple range test
for as 

Mean Square Error:  5.417266 

trat,  means

      as      std r   Min   Max
A 18.296 2.905044 5 15.31 22.17
B 25.172 1.047387 5 23.85 26.01
C 23.510 2.053521 5 21.00 25.92
D 22.020 2.739389 5 19.98 26.83
E 20.588 1.519661 5 19.02 22.92

Alpha: 0.05 ; DF Error: 12 

Critical Range
       2        3        4        5 
3.207303 3.357126 3.447901 3.507980 

Means with the same letter are not significantly different.

      as groups
B 25.172      a
C 23.510     ab
D 22.020     ab
E 20.588     bc
A 18.296      c

Argumentos

Las funciones de contrastes de la librería agricolae requieren como argumentos básicos: el modelo, el tratamiento(trt, con comillas) y eventualmente especificar si son datos desbalanceados o no. El argumento “console=TRUE” permite observar la salida en la consola.

Prueba Dunnett.

Características

  • Prueba a priori.

  • Compara un control con cualquier cantidad de tratamientos de a pares.

  • Estadístico: \(t_i=\frac{\hat d_i}{EE_d}\)

  • Prueba uni o bilateral

Dunnett. Contrastes de a ‘pares’.

mediasModelo=emmeans(modelo,~trat);mediasModelo
 trat emmean   SE df lower.CL upper.CL
 A      18.3 1.04 12     16.0     20.6
 B      25.2 1.04 12     22.9     27.4
 C      23.5 1.04 12     21.2     25.8
 D      22.0 1.04 12     19.8     24.3
 E      20.6 1.04 12     18.3     22.9

Results are averaged over the levels of: filas, cols 
Confidence level used: 0.95 
# Supongamos que el tratamiento "A" es el testigo
# Contrastes
d1=(25.2-18.3)
d2=(23.5-18.3)
d3=(22-18.3)
d4=(20.6-18.3)
CMEE=anava$`Mean Sq`[4];CMEE
[1] 5.417266
EE.d=sqrt(2*CMEE/5)
t=c(d1,d2,d3,d4)/EE.d;t
[1] 4.687368 3.532509 2.513516 1.562456

# install.packages(emmeans)
library(emmeans)
contrast(mediasModelo, "trt.vs.ctrl", ref = "A")
 contrast estimate   SE df t.ratio p.value
 B - A        6.88 1.47 12   4.671  0.0019
 C - A        5.21 1.47 12   3.542  0.0140
 D - A        3.72 1.47 12   2.530  0.0845
 E - A        2.29 1.47 12   1.557  0.3823

Results are averaged over the levels of: filas, cols 
P value adjustment: dunnettx method for 4 tests 

library(multcomp)
summary(glht(modelo,linfct=mcp(trat="Dunnett")))

     Simultaneous Tests for General Linear Hypotheses

Multiple Comparisons of Means: Dunnett Contrasts


Fit: lm(formula = as ~ trat + filas + cols, data = datos)

Linear Hypotheses:
           Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
B - A == 0    6.876      1.472   4.671  0.00193 **
C - A == 0    5.214      1.472   3.542  0.01335 * 
D - A == 0    3.724      1.472   2.530  0.08113 . 
E - A == 0    2.292      1.472   1.557  0.37743   
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
(Adjusted p values reported -- single-step method)

Resolución con InfoStat

Cargar los datos del mismo modo en que se vino realizando. Luego seleccionar el menú Estadísticas>>Análisis de la varianza, e ingresar la variable as en el bloque de variables dependientes, y las variables trat, filas y cols en el bloque de variables de clasificación (a fin de simplificar el desarrollo, se omitirá en esta instancia la prueba de los supuestos del modelo).

En la siguiente ventana, podremos especificar las pruebas post hoc en la pestaña Comparaciones o bien los contrastes en la pestaña Contrastes.

Comparaciones

InfoStat permite seleccionar una de 10 (diez) pruebas de comparaciones de medias: LSD, DGC, Jolife, Bonferroni, Tukey, Dunkan, SNK, BSS, Scott Knott y Scheffé. Además, es posible especificar el formato de presentación, el nivel de significación y si se desea el error de la prueba y el gráfico de barras con las medias de cada tratamiento.

Recordar que las pruebas seleccionadas deben ser planteadas únicamente para los tratamientos.

El resultado de las pruebas de comparaciones de medias es mostrada en la ventana de resultados a continuación de la tabla de ANAVA.

Contrastes

En la pestaña Contrastes de la ventana de Análisis de la varianza, en la lista desplegable Escoger efectos seleccionar la variable trat. En el bloque de Tratamientos aparecerán ordenados los tratamientos que emplearemos en los contrastes. A continuación, en el bloque Matriz de contrastes se deben ingresar los coeficientes de los contrastes incluyendo sus signos y respetando el orden de los tratamientos. Los coeficientes deben estar separados por un espacio. Luego, Aceptar.

Los resultados de los contrastes aparecerán en la ventana de Resultados, a continuación de la tabla de ANAVA.

Bibliografía